信息学奥赛初赛天天练-54-CSP-J2019阅读程序3-二叉树、满二叉树、单侧二叉树、二分查找、递归、等差数列求和
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2019 CSP-J 阅读程序3
1阅读程序(程序输入不超过数组或字符串定义的范围;判断题正确填 √,错误填 ×。除特殊说明外,判断题 1.5 分,选择题 3 分,共计 40 分)
01 #include <iostream>
02 using namespace std;
03 const int maxn = 10000;
04 int n;
05 int a[maxn];
06 int b[maxn];
07 int f(int l, int r, int depth) {
08 if (l > r)
09 return 0;
10 int min = maxn, mink;
11 for (int i = l; i <= r; ++i) {
12 if (min > a[i]) {
13 min = a[i];
14 mink = i;
15 }
16 }
17 int lres = f(l, mink - 1, depth + 1);
18 int rres = f(mink + 1, r, depth + 1);
19 return lres + rres + depth * b[mink];
20 }
21 int main() {
22 cin >> n;
23 for (int i = 0; i < n; ++i)
24 cin >> a[i];
25 for (int i = 0; i < n; ++i)
26 cin >> b[i];
27 cout << f(0, n - 1, 1) << endl;
28 return 0;
29 }
1 如果a数组有重复的数字,则程序运行时会发生错误。( )[1.5分]
2 如果b数组全为0,则输出为0。( ) [1.5分]
3 当n=100时,最坏情况下,与第12行的比较运算执行的次数最接近的是:( ) [3分]
A 5000
B 600
C 6
D 100
4 当n=100时,最好情况下,与第12行的比较运算执行的次数最接近的是:( ) [3分]
A 100
B 6
C 5000
D 600
5 当n=10时,若b数组满足,对任意0<=i<n,都有b[i] = i + 1,那么输出最大为( ) [3分]
A 386
B 383
C 384
D 385
6 当n=100时,若b数组满足,对任意0 <= i < n,都有b[i]=1,那么输出最小为( ) [4分]
A 582
B 580
C 579
D 581
2 相关知识点
1) 二叉树
每个结点至多拥有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点),并且,二叉树的子树有左右之分,其次序不能任意颠倒,例如下面是一棵二叉树
满二叉树
满二叉树又叫完美二叉树,除了叶子结点之外的每一个结点都有两个孩子,树的叶子节点均在最后一层(也就是形成了一个完美的三角形)
单侧二叉树
每1层只有左孩子或者右孩子的二叉树
2) 二分查找
二分查找也叫二分搜索 (binary search),也叫折半查找 (half-interval search),是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。
所以用二分查找的前提是数组必须是有序的,可以升序也可以降序
平均时间复杂度
O(logn)
3) 递归
递归
递归是一种解决问题的方法,它通过将问题分解为更小的子问题来解决。
一个递归函数会在其定义中直接或间接地调用自身
递归通常包括两个部分:基本情况(Base case)和递归步骤(Recursive step)。
基本情况是指当问题规模变得足够小时,可以直接得到解决方案的情况。
4) 等差数列求和
等差数列求和公式
sn=(a1+an)*n/2
其中a1是第1项,an是第n项,n是总共n个数求和
例如
1+2+3+4+5+6=(1+6)*6/2=21
2+4+6+8+10=(2+10)*5/2=30
3 思路分析
大致思路
每1层找到1个最小值,把剩余数分成左右2部分(如果找到的是最小或最大,剩余的只能分成1部分)
拆分后的每部分再继续找到最小值,继续拆分
递归下去,直到最后1层,每个元素都有1个数,不能再拆分为止
示例
a和b数组
对应拆分如下
计算输出
ans=b[3]*1 +b[1]*2+b[5]*2+b[0]*3+b[2]*3+b[4]*3+b[6]*3
=4*1 + 2*2 + 6*2 + 1*3 +3*3 + 5*3 +7*3
=4 + 4 + 12 + 3 +9 +15 +21
=68
1 如果a数组有重复的数字,则程序运行时会发生错误。( F )[1.5分]
分析
如下程序,通过循环比较求最小数及其下标,每次可以找到第1个最小数,不会发生错误
11 for (int i = l; i <= r; ++i) {
12 if (min > a[i]) {
13 min = a[i];
14 mink = i;
15 }
16 }
2 如果b数组全为0,则输出为0。( T ) [1.5分]
分析
由如下程序可知,返回值是下一层左边返回值+下一层右边返回值+当前层*最小值对应b数组的值
如果考虑到最后一层,左右返回值都是0,所以函数返回值取决于b数组的值
如果b数组全是0,depth*b[mink]也全是0,因此输出0
17 int lres = f(l, mink - 1, depth + 1);
18 int rres = f(mink + 1, r, depth + 1);
19 return lres + rres + depth * b[mink];
3 当n=100时,最坏情况下,与第12行的比较运算执行的次数最接近的是:( A ) [3分]
A 5000
B 600
C 6
D 100
分析
无论最小值在哪个位置,每层的比较次数是固定的,每层去除1个最小
最坏的情况是层数尽可能的多,即每次都是单侧的情况
比较次数
第1层 100
第2层 99
...
第99层 2
第100层 1
所以所有层加起来为
100+99+...+2+1 //根据等差数列求和
=(1+100)*100/2
=5050
所以比较次数最接近5000
4 当n=100时,最好情况下,与第12行的比较运算执行的次数最接近的是:( D ) [3分]
A 100
B 6
C 5000
D 600
分析
无论最小值在哪个位置,每层的比较次数是固定的,每层去除1个最小
最好的情况是层数尽可能的少,即每次都是单均分的情况
都是均分的情况,每次二分,50,25,12,6,3,2,1
log100=6~7层
比较次数
第1层 100
第2层 99
第3层 98
第4层 97
第5层 96
第6层 95
第7层 94
总的比较次数约600多次,所以选D
5 当n=10时,若b数组满足,对任意0<=i<n,都有b[i]= i + 1,那么输出最大为( D ) [3分]
A 386
B 383
C 384
D 385
分析
无论最小值在哪个位置,每层的比较次数是固定的,每层去除1个最小
由于b数组的值为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
由如下程序可知,需要每1层的depth*b[mink]的值
所以深度最大时,递归函数返回值最大,即每次都是单侧的情况
return lres + rres + depth * b[mink];
每次返回值为
第1层 1*1
第2层 2*2
...
第9层 9*9
第10层 10 * 10
所以输出总数
1*1+2*2+...+10*10
=1+4+9+16+25+36+49+64+81+100
=385
6 当n=100时,若b数组满足,对任意0<=i <n,都有b[i]=1,那么输出最小为( B ) [4分]
A 582
B 580
C 579
D 581
分析
b数组都为1,层数越小,输出值越小
所以每层都均分的情况,输出最小
第1层 所有里面找1个最小值,depth=1,1*1
第2层 拆分2部分,找到2个最小值 depth=2, 2*2
第3层 拆分4部分,找到4个最小值depth=3, 4*3
...
第6层 拆分32部分,找到32个最小值 32*6
第7层 最后1层,剩余节点数100-1-2-4-8-16-32=37
1*1+2*2+4*3+8*4+16*5+32*6+37*7
=1+4+12+32+80+192+259
=580
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