信息学奥赛初赛天天练-44-CSP-J2020基础题-排列组合、乘法原理、捆绑法、隔板法、排除法示例及应用
信息学奥赛初赛天天练-44-CSP-J2020基础题-排列组合、乘法原理、捆绑法、隔板法、排除法示例及应用
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2020 CSP-J 选择题
单项选择题(共15题,每题2分,共计30分:每题有且仅有一个正确选项)
10.有5 个小朋友并排站成一列,其中有两个小朋友是双胞胎,如果要求这两个双胞胎必须相邻,则有( )种不同排列方法?
A.48
B.36
C.24
D.72
13.干支纪年法是中国传统的纪年方法,由10个天干和12个地支组合成60个天干地支。由公历年份可以根据以下公式和表格换算出对应的天干地支。
天干 =(公历年份)除以10所得余数
地支 =(公历年份)除以12所得余数
例如,今年是 2020 年,2020 除以 10 余数为 0,查表为"庚”;2020 除以 12,余数为 4,查表为“子” 所以今年是庚子年。
请问 1949 年的天干地支是( )
A.己酉
B.己亥
C.己丑
D.己卯
14.有10 个三好学生名额分配到 7 个班级,每个班级至少有一个名额,一共有( )种不同的分配方案
A.84
B.72
C.56
D.504
15.有五副不同颜色的手套(共 10 只手套,每副手套左右手各 1 只),一次性从中取 6 只手套,请问恰好能配成两副手套的不同取法有( )种
A.120
B.180
C.150
D.30
2 相关知识点
1) 乘法原理
做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一 步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法。
那么完成这件事共有 N=m1 * m2 * m3 …* mn 种不同的方法
每个步骤没有完成一件事,只是完成了其中一个步骤
例如
马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋,他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问:小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配?
分析
演出前着装需要2步
第1步 选1顶帽子 ,有3种选法
第2步 选1双鞋子 ,有2种选法
分2步适合乘法原理,总共搭配数 3 * 2 =6 种
2) 捆绑法
排列组合中的相邻问题可以通过捆绑法来解决。
这种方法的基本思路是,将要求相邻的元素视为一个整体(即一个“大元素”),然后与其他元素一起进行排列。同时,需要注意这个“大元素”内部元素的排列
具体步骤如下:
将要求相邻的元素捆绑在一起,视为一个整体。
将这个整体与其他元素一起进行全排列。
考虑这个整体内部元素的排列。由于它们是相邻的,所以需要考虑它们之间的相对顺序
例题1
5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法?( )
A. 240 B. 320 C. 450 D. 4320
答案 D
分析
3个女生必须在一起,采用捆绑法,把3个女生捆绑在一起当作一个元素
第1步
把3个女生视为一个元素,与5个男生进行排列,共有 A(6,6)=6 * 5 * 4 * 3 *2 * 1=720
第2步
3个女生内部再进行排列,A(3,3) = 3 * 2 * 1=6
需要2步完成,需采用乘法原理对2步排列数进行相乘:720 * 6 = 4320种
2) 隔板法
将n个相同元素分给m个不同对象,要求元素全部分完,且每个对象至少分一个元素的问题
在n个元素之间的n-1个空中插入m-1个板,可以把n个元素分成m组的方法
总共有 C(n-1,m-1)种
n-1是n个元素之间有n-1个空,m-1是m-1个板可以分成m组
例题
现有7个一样的苹果,要分给3个小朋友,每人至少分1个,请问有多少种分法?
分析
7个一样的苹果,要分给3个小朋友,即7个一样的苹果分成3组,在7个苹果形成的6个空中,插入2个隔板即可
C(6,2)=6 * 5 /(2 * 1) = 15 种
排除法
当符合条件的情况繁杂而不符合条件的情况单一时,适合将不符合条件的情况从所有情况中减去
例题
从6名男生,5名女生中任选4人参加竞赛,要求男女至少各1名,有多少种不同的选法?
A.240 B.310 C.720 D.1080
分析
男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生,这样就可以变化成C(11,4)-C(6,4)-C(5,4)=310
3 思路分析
10.有5 个小朋友并排站成一列,其中有两个小朋友是双胞胎,如果要求这两个双胞胎必须相邻,则有( A )种不同排列方法?
A.48
B.36
C.24
D.72
分析
第1步
双胞胎必须相邻,使用捆绑法,需要把双胞胎捆绑在一起当作一个,和其他3个做排列组合
A(4,4)
第2步
双胞胎内部有顺序,A在左,B在右或者A在右B在左
A(2,2)
根据乘法原理 A(4,4) * A(2,2) = 4 * 3 * 2 * 1 * 2 *1 = 48
13.干支纪年法是中国传统的纪年方法,由10个天干和12个地支组合成60个天干地支。由公历年份可以根据以下公式和表格换算出对应的天干地支。
天干 =(公历年份)除以10所得余数
地支 =(公历年份)除以12所得余数
例如,今年是 2020 年,2020 除以 10 余数为 0,查表为"庚”;2020 除以 12,余数为 4,查表为“子” 所以今年是庚子年。
请问 1949 年的天干地支是( C )
A.己酉
B.己亥
C.己丑
D.己卯
分析
天干:1949%10 = 9 对应 己
地支:1949%12 = 5 对应 丑
所以1949 年的天干地支是 己丑
14.有10 个三好学生名额分配到 7 个班级,每个班级至少有一个名额,一共有( A )种不同的分配方案
A.84
B.72
C.56
D.504
分析
相同名额分给不同的班级,每班至少有一个名额,使用隔板法,分成7个班级,分成7组,需要6个隔板
6个隔板可以放到9个空中
C(9,6)=C(9,3)=9 * 8 * 7 /(3 * 2 * 1) = 84
15.有五副不同颜色的手套(共 10 只手套,每副手套左右手各 1 只),一次性从中取 6 只手套,请问恰好能配成两副手套的不同取法有( A )种
A.120
B.180
C.150
D.30
分析
第1步
从5副不同颜色的手套中选2副
C(5,2)=5*4 /2=10
第2步
需要选择6只,还差2只,从剩余6只手套中选2只
C(6,2)=6 * 5 /2 =15
由于第1步已经选择好了2副手套,所以此步选择的不能是1副,排除是1副的情况,共有3种情况
15-3=12
根据乘法原理 10 * 12=120
作者:newcode 更多资源请关注纽扣编程微信公众号
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