信息学奥赛初赛天天练-37-CSP-J2021阅读程序-质数、合数、约数、约数个数、约数和、增加质因数对约数个数、约数和的影响

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质数

质数和合数是数学中对于自然数（不包括0和1）的两种重要分类

质数 (Prime Number)

一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数

例如

2、3、5、7、11、13、17、19等都是质数

注意

质数只有两个正因数：1和它本身

合数

合数是指在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数

4、6、8、9、10、12、14、15等都是合数

注意

合数至少有三个正因数，除1和本身以外还有至少一个正因数

唯一分解定理

唯一分解定理又称为算术基本定理，其性质是每个大于1的自然数N（非质数）均可以被分解且他们的分解形式是唯一的

任何一个大于1的自然数 N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1 * P2^a2 * P3^a3 ...... Pn^an，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式

例如

18 = 2^1 * 3^2

约数

约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。

例如

6的正约数有：1、2、3、6

10的正约数有：1、2、5、10

约数个数

每个合数都可以分解成质因子的幂次的乘积

H = p1^a1 * p2^a2 ....pn^an 其中 pi都是质数，ai是幂次，p1是最小的质数
约数的个数为(a1+1)*(a2+1)*...(an+1)

例题

18 = 2^1 * 3^2

约数的个数为(a1+1)*(a2+1) = (1+1) * (2+1) =2 * 3 =6

分析

18由2个质数组成，分别为2和3
2可以包括2^0和2^1 这2种情况(可能出现的情况包括2的0次幂，所以为幂次+1)
3可以包括3^0、3^1、3^2 这3种情况(可能出现的情况包括3的0次幂，所以为幂次+1)
根据乘法原理 2 * 3 =6种情况
2^0 * 3^0 = 1 * 1= 1
2^1 * 3^0 = 2 * 1= 2
2^0 * 3^1 = 1 * 3= 3
2^1 * 3^1 = 2 * 3= 6
2^0 * 3^2 = 1 * 9= 9
2^1 * 3^2 = 1 * 9= 18

增加质数对约数个数影响

1 原数为n，增加的是最小质数k 满足 n%k==0
30 =2^1 * 3^1 * 5^1
约数个数为(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)=(1+1)*(1+1)*(1+1)=8
增加一个最小质数2
60 =2^2 * 3^1 * 5^1 
约数个数为(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)=(2+1)*(1+1)*(1+1)=3*2*2=12

观察规律，只有最小质数项有变化
(1+1) -->(2+1)
所以增加最小质数后的约数个数=增加前的约数个数/(1+1)*(2+1)
即 12 = 8 / 2 * 3

2 原数为n，增加的是最小质数k 满足 n%k!=0
15 = 3^1 * 5^1 
约数个数为(a1+1)*(a2+1)=(1+1)*(1+1)=4
增加一个最小质数2
30 = 2^1 * 3^1 * 5^1
约数个数为(a1+1)*(a2+1)=(1+1)*(1+1)*(1+1)=8

观察规律，发现多了一个因数，约数个数为原来约数个数* 2

约数和

每个合数都可以分解成质因子的幂次的乘积

H = p1^a1 * p2^a2 ....pn^an 其中 pi都是质数，ai是幂次，p1是最小的质数
约数的和为(p1^0+p1^1+...p1^a1)*(p2^0+p2^1+...p2^a2)*...(pn^0+pn^1+...p2^an)

例如
12 =2^2*3^1
枚举约数
1  =2^0*3^0
2  =2^1*3^0
4  =2^2*3^0
3  =2^0*3^1
6  =2^1*3^1
12 =2^2*3^1
1+2+4=2^0*3^0 + 2^1*3^0 + 2^2*3^0=3^0 * (2^0+2^1+2^2)
3+6+12 = 2^0*3^1 + 2^1*3^1 + 2^2*3^1 = 3^1 * (2^0+2^1+2^2)
1+2+4+3+6+12=3^0 * (2^0+2^1+2^2) + 3^1 * (2^0+2^1+2^2) =(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)=28

例题

18 = 2^1 * 3^2
根据约数和公式
约数和=(2^0+2^1)*(3^0+3^1+3^2)=3 * 13 =39
枚举18的约数和=1+2+3+6+9+18=39

增加质数对约数和影响

1 原数为n，增加的是最小质数k 满足 n%k==0
30 =2^1 * 3^1 * 5^1
30的约数和=(2^0+2^1)*(3^0+3^1)*(5^0+5^1)=72
增加一个最小质数2
60 =2^2 * 3^1 * 5^1
60的约数和=(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)*(5^0+5^1)=168

观察规律
令 m=(3^0+3^1)*(5^0+5^1)
g[x]表示x的约数和
则
g[30]=(2^0+2^1)*m
g[60]=(2^0+2^1+2^2)*m=(2^1+2^2)*m+2^0*m=2(2^0+2^1)*m+m=2*g[30]+m

2 原数为n，增加的是最小质数k 满足 n%k!=0
15 = 3^1 * 5^1 
约数和为 (3^0+3^1)*(5^0+5^1)=(1+3)*(1+5)=24
增加一个最小质数2
30 = 2^1 * 3^1 * 5^1
约数和为 (2^0+2^1)*(3^0+3^1)*(5^0+5^1)=(1+2)*(1+3)*(1+5)=72
 
观察规律
g[x]表示x的约数和
则
g[15]=(3^0+3^1)*(5^0+5^1)
g[30]=(2^0+2^1)*(3^0+3^1)*(5^0+5^1)
多出了1项(2^0+2^1)，这项为1+k
所以g[30]=g[15]*(k+1)