信息学奥赛初赛天天练-16-深入解析阅读程序-模拟与二分查找时间复杂度的巧妙应用！

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1 2022 CSP-J 阅读程序3

阅读程序（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确填 √，错误填×；除特 殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分）

源代码

#include<iostream>
 
using namespace std;

int n,k;

int solve1()
{
    int l=0,r=n;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(mid * mid <=n) l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l-1;
}

double solve2(double  x)
{
    if(x == 0) return x;
    for(int i=0;i<k;i++)
        x=(x+n/x)/2;
    return x;
}

int main()
{
    cin>>n>>k;
    double ans=solve2(solve1());
    cout<<ans<<' '<<(ans * ans == n)<<endl;
    return 0;
}

假设int为32位有符号整数类型，输入的n是不超过47000的自然数、k是不超过int表示范围的自然数，完成下面的判断题和单选题

判断题

28.该算法最准确的时间复杂度分析结果为O(logn+k) ( )

29.当输入为"9801 1"时，输出的第一个数为"99" 。( )

30.对于任意输入的n，随着所输入k的增大，输出的第2个数会变成"1" 。( )

31.该程序有存在缺陷。当输入的n过大时，第12行的乘法有可能溢出，因此应当将mid强制转换为64位整数再计算。( )

单选题

32.当输入为 "2 1" 时，输出的第一个数最接近( )

A. 1

B. 1.414

C. 1.5

D. 2

33.当输入"3 10"时，输出的第一个数最接近( )

A. 1.7

B. 1.732

C. 1.75

D. 2

34.当输入为"256 11"时,输出的第一个数( )

A. 等于16

B. 接近但小于16

C. 接近但大于16

D. 前三种情况都有可能

2 相关知识点

1) 算法时间复杂度

算法时间复杂度定性描述该算法的运行时间，常用大O符号表述

常用时间复杂度举例

2) 二分答案

二分答案顾名思义，它用二分的方法枚举答案，并且枚举时判断这个答案是否可行

直接对答案进行枚举查找，接着判断答案是否合法。如果合法，就将答案二分进一步靠近，如果不合法，就接着二分缩小判断。这样就可以大大的减少时间。

二分中有时可以得可行得答案，但不是最大的，继续向右靠近，求出最大值

示例

 int ans = 1;
 int l = 1,r = 100000;//在1~100000之间的整数枚举 
 while(l <= r){
     int m = l + (r - l) / 2;
     if(check(m)){//满足 则进行向右缩小范围 看看有没有更大的 
         ans = m;//可能多次赋值 最后一定是可能的最大值 
         l = m + 1;
      }else{//不满足缩小边长 向左缩小范围 用更小边长继续尝试 
         r = m - 1;
	  } 
  }

二分查找时间复杂度分析

二分查找每次都缩小或扩大为原来的一半和上面示例4类似，所以也是Olog(n)

3 思路分析

solve1函数

int solve1()
{
    int l=0,r=n;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(mid * mid <=n) l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l-1;
}

solve1函数是一个标准的二分答案算法，找到1个数x ，使得x * x 无限接近于n

也就是求n的平方根，当n=4时进行验证

n=4  l=0 r=4
//0<=4 进入循环
//第1次循环
mid=(l+r)/2=(0+4)/2=2 ,mid * mid =2 * 2=4<=4 条件满足 l=mid+1=2+1=3 r=4
//3<=4 条件满足
//第2次循环
mid=(l+r)/2=(3+4)/2=3, mid * mid =3 * 3 =9<=4 不满足，r=mid-1=3-1=2 l=3
//3<=2 条件不满足 退出循环
//返回 l-1 = 3 -1 =2
//所以当n=4时，函数solve1返回2，是4得平方根

如果n=5，是否也可以算出其平方根呢？

n=5  l=0 r=5
//0<=5 进入循环
//第1次循环
mid=(l+r)/2=(0+5)/2=2 ,mid * mid =2 * 2=4<=5 条件满足 l=mid+1=2+1=3 r=5
//3<=5 条件满足
//第2次循环
mid=(l+r)/2=(3+5)/2=4, mid * mid =4 * 4 =16<=5 不满足，r=mid-1=4-1=3 l=3
//3<=3 条件满足
//第3次循环
mid=(l+r)/2=(3+3)/2=3, mid * mid =3 * 3 =9<=5 不满足，r=mid-1=3-1=2 l=3
//3<=2 条件不满足 退出循环
//返回 l-1 = 3 -1 =2
//所以当n=5时，函数solve1返回2，不是5得平方根，2是小于5平方根得最大整数

根据如下代码，可以大概猜测solve2是辅助求出平方根是小数的情况，如果猜不出，可以模拟对应数据

double ans=solve2(solve1());
cout<<ans<<' '<<(ans * ans == n)<<endl;

假设int为32位有符号整数类型，输入的n是不超过47000的自然数、k是不超过int表示范围的自然数，完成下面的判断题和单选题

判断题

28.该算法最准确的时间复杂度分析结果为O(logn+k) ( T )

分析

此题调用了2次函数，solve1和solve2，其中solve1是二分答案，时间复杂度为O(logn),solve2的时间复杂度为O(k)

所以准确的时间复杂度为2者之和O(logn+k)

29.当输入为"9801 1"时，输出的第一个数为"99" 。( T )

分析

n=9801 ，求其对应平方根是99

k为1,执行1次 x = (x + n / x) / 2;

x=（99 + 9801/99)/2=99

所以是99

30.对于任意输入的n，随着所输入k的增大，输出的第2个数会变成"1" 。( F )

分析

如果平方根不是整数，求出结果没有精确的值，只能计算n的近似值，所以不会相等，返回false为0

31.该程序有存在缺陷。当输入的n过大时，第12行的乘法有可能溢出，因此应当将mid强制转换为64位整数再计算。( F )

分析

n最大是47000，中间可能导致溢出的是mid * mid,最大是（47000/2)*(47000/2)不会超过int的表示范围21亿

单选题

32.当输入为 "2 1" 时，输出的第一个数最接近( C )

A. 1

B. 1.414

C. 1.5

D. 2

分析

当n=2时，solve1求出平方根整数为1

//模拟过程
n=2  l=0 r=2
//0<=2 进入循环
//第1次循环
mid=(l+r)/2=(0+2)/2=1 ,mid * mid =1 * 1=1<=2 条件满足 l=mid+1=1+1=2 r=2
//2<=2 条件满足
//第2次循环
mid=(l+r)/2=(2+2)/2=2, mid * mid =2 * 2 =4<=2 不满足，r=mid-1=2-1=1 l=2
//2<=1 条件不满足 退出循环
//返回 l-1 = 2 -1 =1

k为1,执行1次 x = (x + n / x) / 2;

x=(1+2/1)/2=1.5

所以选C

33.当输入"3 10"时，输出的第一个数最接近( B )

A. 1.7

B. 1.732

C. 1.75

D. 2

分析

当n=3时，solve1求出平方根整数为1

//模拟过程
n=3  l=0 r=3
//0<=3 进入循环
//第1次循环
mid=(l+r)/2=(0+3)/2=1 ,mid * mid =1 * 1=1<=3 条件满足 l=mid+1=1+1=2 r=3
//2<=3 条件满足
//第2次循环
mid=(l+r)/2=(2+3)/2=2, mid * mid =2 * 2 =4<=3 不满足，r=mid-1=2-1=1 l=2
//2<=1 条件不满足 退出循环
//返回 l-1 = 2 -1 =1

k为10,执行10次 x = (x + n / x) / 2;

第1次 x=(1+3/1)/2=2
第2次 x=(2+3/2)/2=1.75
第3次 x=(1.75+3/1.75)/2=1.732
第4次 x=(1.732+3/1.732)/2=1.732
3/1.732 =1.732 所以后续计算约等于1.732

所以选B

34.当输入为"256 11"时,输出的第一个数( A )

A. 等于16

B. 接近但小于16

C. 接近但大于16

D. 前三种情况都有可能

分析

当n=256时，solve1求出平方根整数为16

//模拟过程
n=256  l=0 r=256
//0<=256 进入循环
//第1次循环
mid=(l+r)/2=(0+256)/2=128 ,mid * mid =128 * 128<=256 条件不满足 r=mid-1=128-1=127 l=0
//0<=127 条件满足
//第2次循环
mid=(l+r)/2=(0+127)/2=63, mid * mid =63 * 63 <=256 条件不满足，r=mid-1=63-1=62 l=0
//0<=62 条件满足
//第3次循环
mid=(l+r)/2=(0+62)/2=31, mid * mid =31 * 31 <=256 条件不满足，r=mid-1=31-1=30 l=0 
//0<=30 条件满足
//第4次循环
mid=(l+r)/2=(0+30)/2=15, mid * mid =15 * 15 =225 <=256 条件满足，l=mid+1=15+1=16 r=30    
//16<=30 条件满足
//第5次循环
mid=(l+r)/2=(16+30)/2=24, mid * mid =24 * 24<=256 不满足，r=mid-1=24-1=2 l=16
//16<=23 条件满足
//第6次循环
mid=(l+r)/2=(16+23)/2=19, mid * mid =19 * 19<=256 不满足，r=mid-1=19-1=18 l=16
//16<=18条件满足
//第7次循环
mid=(l+r)/2=(16+18)/2=17, mid * mid =17 * 17<=256 不满足，r=mid-1=17-1=16 l=16
//16<=16条件满足
//第8次循环
mid=(l+r)/2=(16+16)/2=16, mid * mid =16 * 16<=256 条件满足，l=mid+1=16+1=17 r=16     
//17<=16 条件不满足 退出循环
//返回 l-1 = 17 -1 =16

k为11,执行11次 x = (x + n / x) / 2;

第1次 x=(16+256/16)/2=16
第2次 x=(16+256/16)/2=16
....
第11次 x=(16+256/16)/2=16

所以选A