信息学奥赛初赛天天练-10-组合数学-排列组合-一次彻底搞懂分组分配问题

1 平均分组

是指将所有的元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等，即m个不同的元素平均分成n个组，有多少种分组方法

由于是平均分组，分组选择元素时会出现重复，因此结果需要除以A(n,n)

平均分组特征

1)被分组的是不同元素

2)出现平均分组

例题1

有4个人，平均分为2组，即每组2人，共有多少种分组方法?

答案 3 种

分析

第1步

从4个人中选2人，放入第1组 C(4,2) = 4 * 3 / 2 =6

第2步

从剩余2人中选2人，放入第2组 C(2,2)=1

第3步

平均分成2组，除以A(2,2)=2

所以分组方法数为 6 * 1 /2 = 3 种

除以A(2,2)的原因：

我们可以枚举C(4,2):从4人中选2人的情况，假如这4人分别为 甲、乙、丙、丁，可以看出1，6和2，5和3，4选的人是相同的，平均分组没有区别，所以需要除以A(2,2)

同样的道理，平均分成3组是需要除以A(3,3)

例题2

有4个人分为3组，其中有1个2人组，2个1人组，共有多少种分组方法?

答案 6 种

分析

第1步

从4人中选2人放入1个组 C(4,2)=4 * 3 / 2 = 6

第2步

从剩余2人中，选1人放入其中1人组 C(2,1)=2

第3步

剩余1人放入剩余1人组 C(1,1)=1

第4步

1人组有2个，属于平均分组所以需要除以A(2,2)

C(4,2) * C(2,1) *C(1,1)/A(2,2)=6 * 2 * 1 / 2 =6 种

例题3

有4个人，平均分为2组，分配到A,B两地，共有多少种方式?

答案 6 种

分析

平均分组

第1步

从4个人中选2人，放入第1组 C(4,2) = 4 * 3 / 2 =6

第2步

从剩余2人中选2人，放入第2组 C(2,2)=1

第3步

平均分成2组，除以A(2,2)=2

所以分组方法数为 6 * 1 /2 = 3 种

安排去A和B两地，A(2,2)

所以3 * A(2,2) = 6 种

具体如下图

2 练习

1)将12本书按4:4:4平均分成三堆，有多少种不同的分法？

2)将12本书按2:2:2:6分成四堆有多少种不同的分法？

3)将10名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法?

A. 120 B. 126 C. 240 D. 252

4)某学校举办篮球比赛，6支报名参赛的队伍将平均分为上午组和下午组进行小组赛。其中甲队与乙队来自同班级，不能分在同一组，则分组情况共有( )种可能?

5)小明有6本不同的书，分成2组，一组4本，一组2本，有多少种不同的分法?

6)有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有( ) 种

7)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有( ) 种.

8)某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ）

A. 18 B. 24 C. 36 D. 48

9)在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有(　　) 种

A. 180 B. 150 C. 96 D. 114

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