信息学奥赛初赛-组合数学-排列组合相邻问题捆绑法

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1 捆绑法

排列组合中的相邻问题可以通过捆绑法来解决。

这种方法的基本思路是，将要求相邻的元素视为一个整体（即一个“大元素”），然后与其他元素一起进行排列。同时，需要注意这个“大元素”内部元素的排列

具体步骤如下：

将要求相邻的元素捆绑在一起，视为一个整体。

将这个整体与其他元素一起进行全排列。

考虑这个整体内部元素的排列。由于它们是相邻的，所以需要考虑它们之间的相对顺序。

2 知识回顾

排列

从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

组合

从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合

组合与排列的区别

与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题

3 例题分析

例题1

5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法?( )

A. 240 B. 320 C. 450 D. 4320

答案 D

分析

3个女生必须在一起，采用捆绑法，把3个女生捆绑在一起当作一个元素

第1步

把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列,共有 A(6,6)=6 * 5 * 4 * 3 *2 * 1=720

第2步

3个女生内部再进行排列，A(3,3) = 3 * 2 * 1=6

需要2步完成，需采用乘法原理对2步排列数进行相乘：720 * 6 = 4320种

例题2

用数字0、1、2、3、4组成没有重复的五位数，其中数字1，2相邻的偶数有( )种

A. 16 B. 24 C. 32 D. 48

答案 B

分析

数字1，2相邻，采用捆绑法，把1，2捆绑起来当作一个元素

由于组成的5位数是偶数，所以末尾数字是0，2，4，而0不能在首位，2必须和1在一起所以要分类讨论

1) 末尾数字是0

第1步

1，2捆绑在一起，和3，4各1个数字,组成3个元素，进行全排列 A(3，3) = 3 * 2 * 1 =6

第2步

捆绑的1，2内部进行排列 A(2,2)=2

分步根据乘法原理 6 * 2 =12 种

2) 末尾数字是2

第1步

末尾数字是2，其中1和2捆绑在一起，所以4和5位置对应是1和2，是1种

第2步

还剩3个位置，第1个位置比较特殊，不能放0，所以只能在3和4中选1个，C(2,1)=2

第3步

还剩下2个位置2和3，没用其他限制，放入剩余的2个数字 A(2,2)=2

分步完成，根据乘法原理 1 * 2 * 2=4

3) 末尾数字是4

第1步

末尾数字是4，是1种

第2步

其中1和2捆绑在一起，看做一个元素，所以还剩3个元素(0,1和2,3)，安排到对应3个位置上

0不能做首位，所以首位只能从剩下2个元素中选1个 C(2,1)=2

第3步

还剩下2元素需要安排到2个位置上 A(2,2) =2

第4步

捆绑的1，2内部进行排列 A(2,2)=2

分步完成，根据乘法原理 1 * 2 * 2 *2 = 8

综上，末尾作为0，2，4三种情况分类讨论，故根据加法原理计算总数

所以 12 + 4 + 8 = 24 种

4 练习巩固

例题1

7人排成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有( ) 种排法

例题2

从单词equation中选取5个不同的字母排成一排，含有qu(其中qu相连且顺序不变)的不同排列共有( )种

5 获取练习答案
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