信息学奥赛初赛-组合数学-排列组合特殊元素优先考虑

1 排列

从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

例题

用数字 1、2、3、4可以排成多少个没有重复数字的4位数？

答案 24个

解析

从1、2、3、4这4个不同数字中，任意选4个，放到4个位置上，选出来的4个数字顺序不同组成不同的数字

所以这是一个全排列问题

A(4,4)=4!=4 * 3 * 2 * 1=24

2 组合

从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合

组合与排列的区别

与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题

例题

有10个人，规定相互通话一次，共通话多少次？

答案 45次

分析

10个人互相通一次电话

2人通话，A与B通话1次，也是B与A通话1次，没有顺序区别，根据排列组合的定义，此题是一个组合问题

从10个里面任意选2人进行通话，即用组合表示 C(10,2)

C(10,2)=10 * 9 / 2= 45

3 排列组合-特殊元素

上面是比较直观的排列组合，实际应用中会碰到各种排列组合的变形，特殊元素是其中之一，需要快速识别转化

例题

从甲、乙等5个人中选出3个人排成一列，则甲不在排头的排法种数是多少种( )

答案 48种

分析

题中特别之处在于甲不能在排头，其他没有特别，这里需要把特殊元素加以处理

方法1 考虑特殊元素甲

从5个人中选3人，不一定要选甲，所以需要分类讨论(加法原理)

1) 选甲

第1步 选人

确定选甲

再从剩余4人选2人即可，C(4,2)

第2步 安排甲到对应位置

甲不能放在排头，所以甲可以放在剩余的2个位置，从剩余2个位置选1个位置C(2,1)

第3步 安排剩余2人到对应位置

剩余2个人，2个位置随便选，有顺序 A(2,2)

所以通过上面3步，使用乘法原理

C(4,2) * C(2,1) * A(2,2) = 4 * 3 /2 * 2 * 2 = 24 种

2) 不选甲

第1步 选人

由于不选甲，所以是从4个里面选3个 C(4,3)

第2补 安排位置

3个位置随便选，有顺序 A(3,3)

所以通过上面2步，使用乘法原理

C(4,3) * A(3,3) =C(4,1) * A(3,3) =4 * 3 * 2 * 1=24 种

上述分选甲和不选甲这2种情况分类讨论，适用于加法原理

所以排法种数为 24 +24 = 48

方法2 考虑排头特殊元素

第1步 先把排头放好

排头不能是甲，所以只能在其他4个人中选1人 C(4,1)

第2步 再选2人放入另外2个位置

第1步选了1人，还剩余4人，这4人中选2人 C(4,2)

安排位置 ，这2人位置随便选，有顺序 A(2,2)

这一步其实分了2小布，选人，安排位置

所以使用乘法原理 C(4,2) * A(2,2)

通过上面2步，使用乘法原理

C(4,1) * C(4,2) * A(2,2) = 4 * 4 * 3 /2 * 2 =48 种

4 练习

例题1

从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员和体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种

例题2

由0、1、2、3、4、5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？

5 获取练习答案

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