CSP初赛复习-20-组合数学基础-进阶

常见解题方法

捆绑法

相邻的元素必须排在一起，不能分开，可以几个相邻元素捆绑成一个元素参与排列

例题1

A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果A,B必须相邻，则不同的排法有多少种？

分析

把A,B视为一人，与其他3人参与排列，则相当于4人的全排列，A(4,4)=24种

A和B内部顺序可以变化，AB和BA 2种情况

因此总共有24*2=48种

例题2

A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有多少种？

分析

把A,B视为一人，与其他3人参与排列，则相当于4人的全排列，A(4,4)=24种

A和B内部顺序只有AB这一种情况

因此总共有24种

插空法

如果元素不能相邻，可以先无位置要求的元素排列好，再把规定不相邻的元素插入到排好元素的空位中

例题

七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法有多少种？

把7人排成一行需要2个步骤

1 第1步骤，除甲乙2人外的其余5人没有要求，进行全排列 A(5,5)

2 第2步骤，步骤1中的5人全排列，在5人中间和2边总共有6个空，从这6个空中选2个空，插入2个人，有顺序要求 所以A(6,2)

3 分步采用乘法原理 A(5,5) * A(6,2) = 120 * 30 =3600 种

缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法

例题

A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有多少种？

分析

B 在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半

A(5,5)/2=5 * 4 * 3 * 2 * 1/2=60种

逐分法 -有序分配问题

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法

例题

有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？

分析

解法1

先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，

不同的选法共有 C(10,2) * C(8,1) * C(7,1) = 10 * 9 /2 * 8 * 7 =2520种

解法2

先从10人中选出1人承担乙项任务，再从剩下的9人中选1人承担丙项任务，第三步从另外的8人中选2人承担甲项任务，

不同的选法共有

C(10,1) * C(9,1) * C(8,2) = 10 * 9 * 8 * 7 /2 =2520种

隔板法

分组分配问题

例题

有10个相同的足球，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案?

分析

10个相同的足球分给7个班，也就是把足球分成7堆

那么将10个足球一字排开，只需要往足球与足球的空隙之间插入6块板就可以分为7堆

每班至少一个，所以只能在10个足球中间的9个空隙插板

从9个空虚种插入6个板 C(9,6)=C(9,3)=9 * 8 * 7 /(3 * 2 * 1)=84

通用描述

相同的物品n，分给m个人，每个人至少有一个物品，问有多少种分法？

总共有 C(n-1,m-1)种

变形

例题1

小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被 选择），单价均为一元一本，小明只有8 元钱且要求全部花完，

则不同的选购方法共有 （ ）

分析

将问题等价转化为将8个完全相同的小球放入4个盒子里，允许有空盒，不符合隔板法

进一步转化为：将12个完全相同的小球放入4个盒子里，每个盒子里至少有1个球，转换后符合隔板法

利用隔板法可得出结果.

C((12-1)(4-1))=C(11,3)=11 * 10 * 9/(3 * 2 * 1)=165

例题2

有 30 个完全相同的苹果，分给 4 个不同的小朋友，每个小朋友至少分得 4 个苹果，问 有多少种不同的分配方案？

分析

每人分4个不符合隔板法

先给每个小朋友分三个苹果，剩余个苹果利用“隔板法”，30个苹果，每人分3个，还剩18个苹果

18个苹果有17个空，插入三个 “板”,C(17,3)

C(17,3)=17 * 16 *15 /(3 * 2 * 1) =680

所以共有680种方法

选排问题 先去再排

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法

例题1

四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C(4,2)种

再排 在四个盒中每次排3个A(4,3)种

先取后排分2步骤完成，适用乘法原理

C(4,2) * A(4,3) = 4 * 3 / 2 * 4 * 3 *2 = 144 种

例题2

9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同的选法？

选取

1 取男运动员2名，C(5,2)

2 取女运动员2名，C(4,2)

再排

这四名运动员混和双打练习有2种排法

1 男A 女A 男B 女B

2 男A 女B 男B 女A

上述总共三步

C(5,2) * C(4,2) * 2= 5 * 4 /2 * 4 * 3 /2 * 2 =120 种