CSP初赛复习-18-数论基础

CSP初赛复习-18-数论基础

数

常见符号

1 整除符号：x| y， x整除y

2 取模符号：x mod y， x除以y 的余数

3 互质符号： x ⊥ y， x与y互为质数

4 最大公约数：gcd(x,y)，简写为(x,y)

5 最小公倍数：lcm(x,y)，简写为[x,y]

6 求和符号：∑

7 求积符号：∏

8 整数集 Z

9 自然数集 N

10 实数集 R

整数集

Z={...,-2,-1,0,1,2,...}

自然数集

N={0,1,2,...}

除了上面常用整数集合还有正整数（大于0的整数）、负整数、非负整数、非正整数、非零整数、奇数偶数等

质数 -素数

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）

100以内的素数

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

合数

除了1和它自身外，还可以被其他数整除的数

例如

4 - 可以被2整除

6 - 可以被3整除

因数 -约数

如果 d|a 且 d>=0 则称d是a的因数 ，因数也可以被称为约数

例如

2|8 ，则称2是8的因数，或者称2是8的约数

质因数 - 素因数 - 质因子

质因数就是一个正整数的因数，并且该因数还属于质数的数字。

质因数有时也被称为素因数或者质因子

例如

2 * 3 * 5 =30 这个式子中，2 3 5是30的因数，并且2 3 5 都是质数，所以2 3 5 是30的质因数

倍数

一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。

即： 3|15 ，5|15 ，所以15是3的倍数 ，15也是5的倍数

指数

指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。

当n是一个正整数，aⁿ表示n个a连乘。当n=0时，aⁿ=1

例如

a=2 n=4时

2^4=2 * 2 * 2* 2=16

对数

对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的逆运算

如果a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作$x=loga^N $。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数

例如

2^x=16 则 \(x=log_2^4\)

整除

整除的定义：设 a,b∈Z,a≠0 ，若存在 q∈Z 使得 b=aq，那么就说a整除b，记做 a∣b ，在这种情况下，我们称 a是b 的约数（或因数）；否则，就说a不整除b ，记做 a∤b

整除的性质

1 性质1 整除的加减性

如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除

即 c|a , c|b ，那么c|(a±b)

例如

​ 2|10 , 2|6 ,那么2|(10±6)

被除数加上或者减轻除数的倍数，不影响除数对它的整除性

2 性质2

如果b和c的乘积能整除a，那么b与c都能整除a

即 bc|a ，那么b|a 且 c|a

例如

2*3|12 ，则 2|12 且 3|12

3 性质3 整除的互质可积性

如果b和c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的乘积能整除a

即：b|a , c|a ,gcd(x,y)=1,那么bc|a

2|28 ,7|28 ,gcd(2,7)=1,那么(2*7)|28

4 性质4 整除的传递性

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a

即：c|b ,b|a 那么 c|a

例如

3|9 ，9|27 那么3|27整除

取整

只留下整数，正数取整是把小数点去掉

1 舍去小数

例如 正实数

float a=1.57;
int b=a;
//此时b为 啥去小数取整 b=1

例如 负实数

float a=-1.57;
int b=a;
//此时b为 啥取小数取整 b=-1	

2 向下取整

例如 正实数

float a=1.57;
int b=floor(a);;
//此时b为 向下取整 b=1

例如 负实数

float a=-1.57;
int b=floor(a);
//此时b为 向下取整 b=-2

3 向上取整

例如 正实数

float a=1.57;
int b=ceil(a);
//此时b为 向上取整 b=2

例如 负实数

float a=-1.57;
int b=ceil(a);
//此时b为 向上取整 b=-1

4 四舍五入

例如 正实数 入

float a=1.57;
int b=round(a);
//此时b为 四舍五入 入 b=2	

例如 正实数 舍

float a=1.47;
int b=round(a);
//此时b为 四舍五入 啥 b=1	

例如 负实数 入

float a=-1.57;
int b=round(a);
//此时b为 四舍五入 入 b=-2

例如 负实数 舍

float a=-1.47;
int b=round(a);
//此时b为 四舍五入 舍 b=-1

模运算

模运算，就是取余数，在计算机语言中用%来表示。举个简单的例子，3 % 5 = 3。结果的取值范围在 0 与模之间

例如

c=x/y

c=3 mod 5 =3 c的取值范围 [0,y-1]

结果也可以用负数表示，即 c=-2

模运算规则

1 交换律

 (a + b) % m = (b + a) % m

 (a * b) % m = (b * a) % m

2 结合律

[(a+b)%m+c]%m = [a+(b+c)%m]%m
[(a*b)%m*c]%m = [(b*c)%m*a]%m

3 分配律

[(a+b)%m * c] % m = [(a*c)%m + (b*c)%m] % m
(a+b)%m = (a%m + b%m)%m
(a - b)%m = (a%m - b%m)%m
(a*b)%m = (a%m * b%m)%m
a^b % m = (a%m)^b % m

同余

两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余

两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m

记作：a≡b (mod m)

读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)

同余的性质

1 对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余

例如

201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余

201×95%7=6

5*4%7=6

2 对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一 定能被这个除数整除

例如：

519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一 定能被这个除数整除

519和319对一个除数4同余，519-399=120 ，4是120的一个因数

同理除数8也是

3 .对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如：

20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化

除数3

20%3=2

29%3=2

20^3%3=2

29^3%3=2

4.对于同一个除数，若三个数a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a,b,c三个数对于除数m都同余 （传递性）

例如

60和76同余于模8，76和204同余于模8，那么60,76,204都同余于模8。

5.对于同一个除数， 若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡c±d（mod m），（可加减性）

60和76同余于模8，76和204同余于模8

60+76=76+204(mod 8)

因为：

136 mod 8 =0

280 mod 8=0

76-60=204-76(mod 8)

因为：

16mod 8 =0

128mod 8=0

6 对于同一个除数， 若四个数a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡cd（mod m），（可乘性）

60和76同余于模8，76和204同余于模8

60 * 76 mod 8 =0

76 * 204 mod 8 =0