电子学会五级-分治时间复杂度-主定理

主定理是分治算法分析中非常重要的定理
如，我们要处理一个规模为 n 的问题通过分治，得到 a 个规模为 $\frac{n}{b}$ 的问题，分解子问题和合并子问题的时间是 f(n)：

$ T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)$

在上面这个式子里，我们得要求 $a \geqslant 1, b> 1$ (如果 b=1 时，递推无意义)，f(n) 是渐进意义上的正数。

回顾一下，a 和 b 的含义：

a 个子问题，即 a 是原问题分为子问题的个数；
每个子问题的规模是 $\frac{n}{b}$；
分治算法共三部分，分治合，而 f(n) 就是分+合的时间

若 $T(n)=a*T(\frac{n}{b}) + O(n^d)$ 对于a>0,b>1,d>=0
则有

\[ T(n)=\begin{cases} O(n^d) & d>log_{b}{a} \\ O(n^d*log_{2}{n}) & d=log_{b}{a} \\ O(n^{log_{b}{a}}) & d<log_{b}{a} & 对于充分大的n 需要满足 a * f(n/b)<=c*f(n) 需要 c<1 \end{cases}\]

应用距离
1.二分查找(Binary search):
T(n)=T(n/2)+1
a=1 b=2
因为
$1=n^0 且 n^{log_{2}{1}}=n^0$
所以适合情况2 时间复杂度为
$n^d*log_{2}{n}=log_{2}{n}$

2.归并排序(Merge sort):
T(n)=2T(n/2)+n
a=2 b=2
$log_{2}{2}=1 且~~ f(n)=n=n^1$
所以适合情况2 时间复杂度为
$n*log_{2}{n}$

3.二叉树遍历(Binary tree traversal):
T(n)=2T(n/2)+1
a=2 b=2
$log_{2}{2}=1 且~~ f(n)=1=n^0$
所以适合情况3 时间复杂度为
$n^{log_{b}{a}} = n^{log_{2}{2}}=n$

4.T(n)=3T(n/4)+nlogn
a=3 b=4
$log_{4}{3}<1 且~~ f(n)=n^1*logn$
所以适合情况3 主要看f(n)的时间复杂度
所以时间复杂度为nlogn

https://blog.csdn.net/qq_41739364/article/details/101224786

https://blog.csdn.net/qq_37375427/article/details/100865396

https://blog.csdn.net/weixin_43560913/article/details/119616265

不适用主定理情况
n不等比例缩小而是逐渐缩小
1.T(n)=T(n-1)+n 时间复杂度 $O(n^2)$
推导:
T(n)
=T(n-1)+n
=T(n-2)+(n-1)+n
=T(n-3)+(n-2)+(n-1)+n
…
=T(0)+1+2+…+(n-2)+(n-1)+n
=1+1+2+…+(n-2)+(n-1)+n
=1+(n+1)*n/2

2.T(n)=T(n-1)+1/n 时间复杂度 $O(logn)$
推导:
T(n) = T(n-1)+1/n
= T(n-2)+1/(n-1)+ 1/n
= T(n-3)+1/(n-2) +1/(n-1)+ 1/n
……
= T(2)+1+1/2+… +1/(n-1)+ 1/n
= 1+1+1/2+… +1/(n-1)+ 1/n
=O(logn)
当n趋于无穷大时调和级数有：(1 + 1/2 + 1/ 3 + 1/ 4.) - lnn
所以时间复杂度为对数级