前言
其实是惊奇地发现班上居然有一堆人还不知道行列式是什么……
然后为了方便其查阅，我把一堆东西整一块了。
主要讲一下定义、性质啥的，顺带写几种手算求法以及相关定理。
参考资料
高代上册着重讲解线性代数，其中第二章讲述行列式。
定义
我们记 \(1\sim n\) 的一个排列为 \(p_1p_2p_3\cdots p_n\)。
我们记 \(\sigma(p_1p_2p_3\cdots p_n)=\sum_{1\le i<j\le n}[p_i>p_j]\)，即排列 \(p_1p_2p_3\cdots p_n\) 的逆序对数。
对一个方阵 \(A=(a_{ij})\)，我们称 \(|A|\) 或 \(\det A\) 为其行列式，其值为：
\[|A|=\sum_{p_1p_2p_3\cdots p_n}(-1)^{\sigma(p_1p_2p_3\cdots p_n)}\prod_ia_{ip_i}
\]
例如，矩阵 \(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) 的行列式记为 \(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)，值为 \(-2\)。
这是定义式，也称完全展开式。
由于此矩阵是 \(n\times n\) 的，即 \(n\) 阶矩阵，所以此行列式被称为 \(n\) 阶行列式，\(n\) 称为此行列式的阶数。
似乎有的教材把按第一行展开作为定义。
性质
以下不加证明地给出其七条性质。
具体证明可以使用完全展开式。
性质 \(1\)
行列式行列互换，值不变。
写成公式即：
\[|A^T|=|A|
\]
\(A^T\) 表示矩阵 \(A\) 的转置。
即，行列式的行、列地位相同。
以下仅写行，不作说明的话在列上也是对的。
性质 \(2\)
把其中一行对应乘 \(k\)，行列式值乘上 \(k\)。
性质 \(3\)
交换两行，行列式反号。
性质 \(4\)
把一行的 \(k\) 倍对应加到另一行上，行列式不变。
以上三条（\(2,3,4\)）导出了计算行列式的一种基本方法，即初等行变换转成上对角阵。
这三条依次对应于三类初等行变换。
性质 \(5\)
两行对应相等，行列式值为 \(0\)。
性质 \(6\)
两行对应成比例，行列式值为 \(0\)。
性质 \(7\)
若把一个行列式的一行拆成两行的和，则原行列式等于对应的两个行列式的和。
\(2,3\) 阶行列式的公式
手算时常用，建议记住。
\[\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
\]
\[\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=(aei+bfg+cdh)-(afh+bdi+ceg)
\]
对于这两个行列式，一种实用的记忆方法是：
- 主对角线方向的斜线进行对应乘积并相加，符号为 \(+\)。
- 副对角线方向的斜线进行对应乘积并相加，符号为 \(-\)。
要注意的是，这一规律仅对 \(2,3\) 阶行列式正确。
手算技巧 1
- 完全展开式。
- 初等行变换转上对角阵。
- 对同一行连续使用性质 \(4\)。
- 多次拆行法。（性质 \(7\)）
例 \(1\)
Q. 计算：
\[\begin{vmatrix}
a_1&a_2&a_3&a_4&a_5\\
b_1&b_2&b_3&b_4&b_5\\
&&&c_4&c_5\\
&&&d_4&d_5\\
&&&e_4&e_5
\end{vmatrix}\]
空即是 \(0\)。
A.
考虑定义。
你考虑 \(p\) 在后三行取到的是哪几列。
必定取到 \(0\) 所在列。
所以值是 \(0\)。
例 \(2\)
Q. 计算：
\[\begin{vmatrix}
a_1-b_1&a_2-b_2&a_3-b_3\\
b_1-c_1&b_2-c_2&b_3-c_3\\
c_1-a_1&c_2-a_2&c_3-a_3
\end{vmatrix}\]
A.
把 \(2,3\) 行加到第 \(1\) 行。
发现答案是 \(0\)。
例 \(3\)
Q. 计算：
\[\begin{vmatrix}
1&2&3\\
101&102&103\\
2&3&3
\end{vmatrix}\]
A.
\[\begin{vmatrix}
1&2&3\\
101&102&103\\
2&3&3
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
1&2&3\\
100&100&100\\
2&3&3
\end{vmatrix}
\\=100\begin{vmatrix}
1&2&3\\
1&1&1\\
2&3&3
\end{vmatrix}
\\=100\begin{vmatrix}
1&2&3\\
1&1&1\\
0&0&-1
\end{vmatrix}
\\=-100\begin{vmatrix}
1&2\\
1&1\\
\end{vmatrix}
\\=100\]
例 \(4\)
Q. 证明：对于任意 \(n(n\ge2)\) 阶矩阵 \(A\)，若有 \(a_{ij}=\pm1\)，则 \(2|\det A\)。
A.
你考虑一个完全展开式。
对于 \(p\) 的每种排列，其对应权值都为 \(\pm1\)，即奇数。
\(n!\) 个奇数加起来，其必为偶数。
\(\operatorname{QED}\)。
例 \(5\)
Q. 证明：对于任意 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，若有 \(a_{ij}=\pm1\)，则 \(2^{n-1}|\det A\)。
A.
\[|A|=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\cdots&\cdots&\ddots&\cdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{vmatrix}\\
=\begin{vmatrix}
a_{11}+a_{n1}&a_{12}+a_{n2}&\cdots&a_{1n}+a_{nn}\\
a_{21}+a_{n1}&a_{22}+a_{n2}&\cdots&a_{2n}+a_{nn}\\
\cdots&\cdots&\ddots&\cdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{vmatrix}\\
=2^{n-1}\begin{vmatrix}
{a_{11}+a_{n1}\over2}&{a_{12}+a_{n2}\over2}&\cdots&{a_{1n}+a_{nn}\over2}\\
{a_{21}+a_{n1}\over2}&{a_{22}+a_{n2}\over2}&\cdots&{a_{2n}+a_{nn}\over2}\\
\cdots&\cdots&\ddots&\cdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{vmatrix}\\
\\\]
后面那个行列式各项元素显然均为 \(-1,0,1\) 中的整数，由于整数环对加法、乘法封闭，所以后面的行列式必为整数。
即，\(2^{n-1}|2^{n-1}\begin{vmatrix}{a_{11}+a_{n1}\over2}&{a_{12}+a_{n2}\over2}&\cdots&{a_{1n}+a_{nn}\over2}\\{a_{21}+a_{n1}\over2}&{a_{22}+a_{n2}\over2}&\cdots&{a_{2n}+a_{nn}\over2}\\\cdots&\cdots&\ddots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{vmatrix}\Rightarrow2^{n-1}|\det A\)。
\(\operatorname{QED}\)。
行列式按 \(1\) 行展开定理
定义 \(1\)：余子式
在行列式 \(|A|\) 中，划去第 \(i\) 行、第 \(j\) 列，所产生的行列式，叫元素 \(a_{ij}\) 的余子式。
定义 \(2\)：代数余子式
\(a_{ij}\) 的余子式与 \((-1)^{i+j}\) 之积，称为元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式，记做 \(A_{ij}\)。
定理内容
\[\forall 1\le i\le n,|A|=\sum_ja_{ij}A_{ij}
\]
异乘变零定理
这个名词之前在看高代时没看到过，网上找资料时才碰巧看到了这玩意。
仔细一看是个很 simple 的东西，即：
\[\forall 1\le i,j\le n\land i\neq j,\sum_ka_{ik}A_{jk}=0
\]
这个东西与行列式按 \(1\) 行展开定理在一起可以构造矩阵的逆。
定义 \(3\)：范德蒙行列式
\[\begin{vmatrix}
1&1&1&\cdots&1\\
x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\
x_1^2&x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}
\end{vmatrix}\]
有结论：
\[\begin{vmatrix}
1&1&1&\cdots&1\\
x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\
x_1^2&x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}
\end{vmatrix}=\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)\]
转置后同理。
具体证明可用数学归纳法 + 行列式按 \(1\) 行展开定理。
手算技巧 2
- 按一行展开法。
- 归纳法。
- 递推关系法。
- 加边法（升阶法）。
- 范德蒙行列式法。
例 \(?\)
Q.计算：
\[\begin{vmatrix}
x_1+1&x_2+1&x_3+1&\cdots&x_n+1\\
x_1^2+1&x_2^2+1&x_3^2+1&\cdots&x_n^2+1\\
x_1^3+1&x_2^3+1&x_3^3+1&\cdots&x_n^3+1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_1^{n-1}+1&x_2^{n-1}+1&x_3^{n-1}+1&\cdots&x_n^{n-1}+1\\
x_1^n+1&x_2^n+1&x_3^n+1&\cdots&x_n^n+1\\
\end{vmatrix}\]
A.
\[\begin{vmatrix}
x_1+1&x_2+1&x_3+1&\cdots&x_n+1\\
x_1^2+1&x_2^2+1&x_3^2+1&\cdots&x_n^2+1\\
x_1^3+1&x_2^3+1&x_3^3+1&\cdots&x_n^3+1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_1^{n-1}+1&x_2^{n-1}+1&x_3^{n-1}+1&\cdots&x_n^{n-1}+1\\
x_1^n+1&x_2^n+1&x_3^n+1&\cdots&x_n^n+1\\
\end{vmatrix}
\\=\begin{vmatrix}
1&1&1&1&\cdots&1\\
&x_1+1&x_2+1&x_3+1&\cdots&x_n+1\\
&x_1^2+1&x_2^2+1&x_3^2+1&\cdots&x_n^2+1\\
&x_1^3+1&x_2^3+1&x_3^3+1&\cdots&x_n^3+1\\
&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
&x_1^{n-1}+1&x_2^{n-1}+1&x_3^{n-1}+1&\cdots&x_n^{n-1}+1\\
&x_1^n+1&x_2^n+1&x_3^n+1&\cdots&x_n^n+1\\
\end{vmatrix}
\\=\begin{vmatrix}
1&1&1&1&\cdots&1\\
-1&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\
-1&x_1^2&x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\
-1&x_1^3&x_2^3&x_3^3&\cdots&x_n^3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-1&x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\
-1&x_1^n&x_2^n&x_3^n&\cdots&x_n^n\\
\end{vmatrix}
\\=-\begin{vmatrix}
1-2&1&1&1&\cdots&1\\
1&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\
1&x_1^2&x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\
1&x_1^3&x_2^3&x_3^3&\cdots&x_n^3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\
1&x_1^n&x_2^n&x_3^n&\cdots&x_n^n\\
\end{vmatrix}
\\=2\begin{vmatrix}
x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\
x_1^2&x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\
x_1^3&x_2^3&x_3^3&\cdots&x_n^3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\
x_1^n&x_2^n&x_3^n&\cdots&x_n^n\\
\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}
1&1&1&1&\cdots&1\\
1&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\
1&x_1^2&x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\
1&x_1^3&x_2^3&x_3^3&\cdots&x_n^3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\
1&x_1^n&x_2^n&x_3^n&\cdots&x_n^n\\
\end{vmatrix}
\\=(2(\prod_kx_k)-\prod_k(x_k-1))(\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j))\]
例 \(?\)
咕咕咕。
与线性方程组的关系（Cramer 法则）
考虑如下一组线性方程组：
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\cdots+a_{3n}x_n=b_3\\
\cdots\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\\
\end{cases}\]
考察其系数行列式：
\[|A|=\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\
\end{vmatrix}\]
是由 \(n\) 个列向量组成的，依次记做 \({\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3,\cdots,{\bf a}_n\)，则有 \(A=({\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3,\cdots,{\bf a}_n)\)。
另记一列向量 \({\bf b}=(b_1,b_2,b_3,\cdots,b_n)^{\operatorname{T}}\)。
结论 \(1\)（Cramer 法则其一）
\[|A|\neq0\Rightarrow{\tt 该方程组有唯一解}
\]
即，\(|A|\neq0\) 是方程组有唯一解的充分条件。
结论 \(2\)
\[{\tt 该方程组有唯一解}\Rightarrow|A|\neq0
\]
即，\(|A|\neq0\) 是方程组有唯一解的必要条件。
以上两条结论指出，\(|A|\neq0\) 是方程组有唯一解的充分必要条件，即
\[{\tt 该方程组有唯一解}\Leftrightarrow|A|\neq0
\]
结论 \(3\)（Cramer 法则其二）
在 \(|A|\neq0\) 时，我们给出其唯一解的形式。
即，我们记 \(A^{(k)}=({\bf a}_1,\cdots,{\bf a}_{k-1},{\bf b},{\bf a}_{k+1},\cdots,{\bf a}_n)\)，则给出
\[\forall 1\le k\le n,x_k={|A^{(k)}|\over|A|}
\]
行列式按 \(k\) 行展开定理（Laplace 定理）
定义：\(k\) 阶子式及其余子式
对行列式 \(|A|\)，记其对 \(i_1,i_2,\cdots,i_k\) 行，\(j_1,j_2,\cdots,j_k\) 列的子式，为仅保留这些行、列的子式，记做：
\[|A|\binom{i_1,i_2,\cdots,i_k}{j_1,j_2,\cdots,j_k}
\]
而除去这些行列的子式则称做对 \(i_1,i_2,\cdots,i_k\) 行，\(j_1,j_2,\cdots,j_k\) 列的余子式。
注意：\(\{i_k\},\{j_k\}\) 元素要单调增。
定理内容
\[\forall{\{i_k\}},|A|=\sum_{\{j_k\}}(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}|A|\binom{i_1,i_2,\cdots,i_k}{j_1,j_2,\cdots,j_k}(|A|\binom{i_1,i_2,\cdots,i_k}{j_1,j_2,\cdots,j_k}{\tt 的余子式})
\]
重要推论
\[\begin{vmatrix}
A_{s\times s}&0\\
C_{m\times s}&B_{m\times m}\\
\end{vmatrix}=|A||B|\]
直接按前 \(s\) 行展开即可得证。
一些鸽掉的东西
- 例题。
- 与矩阵、向量空间等的内在关联。
- \(|AB|=|A||B|\) 等结论。
这里我鸽了，有空再来补吧。
