uoj514

规定 $\Xi:\operatorname{EGF}\rightarrow\operatorname{OGF}$。

考虑令填满后的格子还能继续填，显然答案不变。

那么每步选每个元素的概率均为 $\frac1n$。

我们考虑钦定第一个格子被填满，再枚举最后一步的格子，计算概率，容易发现即为

$$(\Xi(n-1)\frac{z^{b-1}/n^b}{(b-1)!}(\sum_{i\ge a}\frac{(z/n)^i}{i!})(\sum_{i\ge b}\frac{(z/n)^i}{i!})^{n-2})(1)$$

设 $t=z/n$，$u=\exp t$，那么即为

$$(\Xi_z(n-1)\frac{t^{b-1}/n}{(b-1)!}(u-\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<b}\frac{t^i}{i!})^{n-2})_z(1)$$

从而枚举每个被填满的格子，答案即为

$$(\Xi_z(n-1)\frac{t^{b-1}}{(b-1)!}(u-\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<b}\frac{t^i}{i!})^{n-2})_z(1)$$

容易知道

$$\Xi_zu^it^j=\frac{j!(z/n)^j}{(1-iz/n)^{j+1}}$$

所以我们只用考虑如何快速计算

$$\frac{t^{b-1}}{(b-1)!}(u-\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<b}\frac{t^i}{i!})^{n-2}$$

我们不妨设要计算

$$f(u,t)=(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^n$$

则

$$\frac{\partial f}{\partial u}=n(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^{n-1}$$

$$\frac{\partial f}{\partial t}=n(-\sum_{i<m-1}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^{n-1}$$

从而

$$nf=\frac{\partial f}{\partial t}+(u-\frac{t^{m-1}}{(m-1)!})\frac{\partial f}{\partial u}$$

也即

$$nf_{i,j}=(j+1)f_{i,j+1}+if_{i,j}-[m-1\le j]\frac{i+1}{(m-1)!}f_{i+1,j-m+1}$$

从而 $j>0$ 时，我们有

$$f_{i,j}=\frac{(n-i)f_{i,j-1}+[j\ge m] (i+1)f_{i+1,j-m}/(m-1)!}j$$

而 $j=0$ 时显然有

$$f_{i,0}=(-1)^{n-i}\binom ni$$

然后我们考虑计算

$$g=(\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^n$$

此时有

$$\frac{\partial g}{\partial u}=n(\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^{n-1}$$

$$\frac{\partial g}{\partial t}=n(\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(-\sum_{i<m-1}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^{n-1}+g-\frac{t^{a-1}}{(a-1)!}f$$

$$(u-\frac{t^{m-1}}{(m-1)!})\frac{\partial g}{\partial u}+(\frac{\partial g}{\partial t}-g+\frac{t^{a-1}}{(a-1)!}f)=ng$$

$$\frac{\partial g}{\partial t}=(n+1)g-(u-\frac{t^{m-1}}{(m-1)!})\frac{\partial g}{\partial u}-\frac{t^{a-1}}{(a-1)!}f$$

$$g_{i,j}=\frac{(n-i+1)g_{i,j-1}+[j\ge m] (i+1)g_{i+1,j-m}/(m-1)!-[j\ge a]f_{i,j-a}/(a-1)!}{j}$$

而 $j=0$ 时 $g_{i,j}=f_{i,j}$。

这样直接做就好了。