uoj514

规定 \(\Xi:\operatorname{EGF}\rightarrow\operatorname{OGF}\)。

考虑令填满后的格子还能继续填，显然答案不变。

那么每步选每个元素的概率均为 \(\frac1n\)。

我们考虑钦定第一个格子被填满，再枚举最后一步的格子，计算概率，容易发现即为

\[(\Xi(n-1)\frac{z^{b-1}/n^b}{(b-1)!}(\sum_{i\ge a}\frac{(z/n)^i}{i!})(\sum_{i\ge b}\frac{(z/n)^i}{i!})^{n-2})(1) \]

设 \(t=z/n\)，\(u=\exp t\)，那么即为

\[(\Xi_z(n-1)\frac{t^{b-1}/n}{(b-1)!}(u-\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<b}\frac{t^i}{i!})^{n-2})_z(1) \]

从而枚举每个被填满的格子，答案即为

\[(\Xi_z(n-1)\frac{t^{b-1}}{(b-1)!}(u-\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<b}\frac{t^i}{i!})^{n-2})_z(1) \]

容易知道

\[\Xi_zu^it^j=\frac{j!(z/n)^j}{(1-iz/n)^{j+1}} \]

所以我们只用考虑如何快速计算

\[\frac{t^{b-1}}{(b-1)!}(u-\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<b}\frac{t^i}{i!})^{n-2} \]

我们不妨设要计算

\[f(u,t)=(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^n \]

则

\[\frac{\partial f}{\partial u}=n(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^{n-1} \]

\[\frac{\partial f}{\partial t}=n(-\sum_{i<m-1}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^{n-1} \]

从而

\[nf=\frac{\partial f}{\partial t}+(u-\frac{t^{m-1}}{(m-1)!})\frac{\partial f}{\partial u} \]

也即

\[nf_{i,j}=(j+1)f_{i,j+1}+if_{i,j}-[m-1\le j]\frac{i+1}{(m-1)!}f_{i+1,j-m+1} \]

从而 \(j>0\) 时，我们有

\[f_{i,j}=\frac{(n-i)f_{i,j-1}+[j\ge m] (i+1)f_{i+1,j-m}/(m-1)!}j \]

而 \(j=0\) 时显然有

\[f_{i,0}=(-1)^{n-i}\binom ni \]

然后我们考虑计算

\[g=(\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^n \]

此时有

\[\frac{\partial g}{\partial u}=n(\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^{n-1} \]

\[\frac{\partial g}{\partial t}=n(\sum_{i<a}\frac{t^i}{i!})(-\sum_{i<m-1}\frac{t^i}{i!})(u-\sum_{i<m}\frac{t^i}{i!})^{n-1}+g-\frac{t^{a-1}}{(a-1)!}f \]

\[(u-\frac{t^{m-1}}{(m-1)!})\frac{\partial g}{\partial u}+(\frac{\partial g}{\partial t}-g+\frac{t^{a-1}}{(a-1)!}f)=ng \]

\[\frac{\partial g}{\partial t}=(n+1)g-(u-\frac{t^{m-1}}{(m-1)!})\frac{\partial g}{\partial u}-\frac{t^{a-1}}{(a-1)!}f \]

\[g_{i,j}=\frac{(n-i+1)g_{i,j-1}+[j\ge m] (i+1)g_{i+1,j-m}/(m-1)!-[j\ge a]f_{i,j-a}/(a-1)!}{j} \]

而 \(j=0\) 时 \(g_{i,j}=f_{i,j}\)。

这样直接做就好了。