Dinic的几种复杂度

学了那么久网络流才发现自己不知道 Dinic 算法的一个在各边容量均为 $1$ 的网络时复杂度上的结论。我说为啥学术社区那题优化建图复杂度是对的呢……

以下均认为使用了当前弧优化与多路增广。

以下认为 $n$ 为点数，$m$ 为边数，$n=O(m)$。

以下考虑的复杂度均为 $O(\text{增广轮数}\times\text{单轮增广复杂度})$，这个显然是一个合法上界。

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一般网络：$O(n^2m)$

对于一般网络，增广轮数显然为 $O(n)$，因为每轮终点层数递增。

对于单轮增广复杂度，在不限制容量范围时，不会超过 $O(nm)$：对于每个状态的当前弧，只会消耗 $O(n)$ 的时间找到一组合法增广路；而当前弧状态数不会超过 $O(m)$。

因此，对于一般网络，其复杂度为 $O(n^2m)$。

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关于值域的增广轮数上界：$O(\sqrt{\sum_p\min\{d^{in}_p,d^{out}_p\}})$

假设每个点 $p$ 的出边容量和为 $d^{out}_p$，入边容量和为 $d^{in}_p$，定义

$$S=\sum_p\min\{d^{in}_p,d^{out}_p\}$$

则增广轮数不会超过 $\sqrt S$。

如果在 $\sqrt S$ 轮内已经结束，显然就是 $O(\sqrt S)$ 的。

假设已经经过了 $\sqrt S$ 轮，则到达汇点的增广路长度，也即在残量网络上的最短路长度，接下来不会低于 $\sqrt S$。

假设接下来几轮中我们还要流 $d$ 条增广路，则由于除源汇外每个点最多属于 $\min\{d^{in}_p,d^{out}_p\}$ 条有流量的路径，在当前残量网络中存在一种取 $d$ 条路径（不是增广路）的方案。于是残量网络上起点到终点最短路为 $O(\frac Sd)$ 的。

于是，$d=O(\sqrt S)$，所以最多再流 $O(\sqrt S)$ 轮，增广轮数即为 $O(\sqrt S)$ 的。

因此增广轮数是 $O(\sqrt S)$ 的。

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各边容量均为 $1$ 的网络：$O(m\min\{m^{\frac12},n^{\frac23}\})$

接下来我们考虑的是各边容量均为 $1$ 的网络。

对于单轮增广复杂度，考虑到每条边会被访问不超过一次，单轮复杂度为 $O(m)$ 的。

增广轮数是 $O(\sqrt m)$ 的：$S=O(m)$。

增广轮数是 $O(n^{\frac23})$ 的：这个比较高明，推导比较复杂，咕了。

因此，对于各边容量均为 $1$ 的网络，其复杂度为 $O(m\min\{m^{\frac12},n^{\frac23}\})$。

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单位网络：$O(m\sqrt n)$

单位网络是一类特殊的各边容量均为 $1$ 的网络，满足除源汇外各点入度不超过 $1$ 或出度不超过 $1$。

显然单轮增广复杂度还是 $O(m)$ 的。

考虑增广轮数，$S=O(n)$，因此增广轮数是 $O(\sqrt n)$ 的。

因此，对于单位网络，其复杂度为 $O(m\sqrt n)$。

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在稀疏图、稠密图上的分析

	稀疏图（$m\sim n$）	稠密图（$m\sim n^2$）
一般网络	$O(n^3)$	$O(n^4)$
各边容量均为 $1$ 的网络	$O(n\sqrt n)$	$O(n^{\frac83})$
单位网络	$O(n\sqrt n)$	$O(n^{\frac52})$

在稀疏图上，各边容量均为 $1$ 的网络的效率比较明显，$n$ 可以取到 $2\times10^5$ 左右。

在稠密图上，三者的差异就更大了。（不过复杂度一般卡不满）