Luogu5293

前言

我是卡老师，我 10min IP 赋，30min 贺白兔之舞！

联赛前单走一个多项式颓废记录。

刚学的 CZT，趁着热乎过来切白兔之舞并写篇题解。

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思路

设 \(f_{i,j}\) 表示白兔选 \(i\) 个落脚点，最后一步所对应的第二维坐标是 \(j\) 的方案数，而另设 \(g\) 使 \(f_{i,j}=\binom Lig_{i,j}\)，即 \(g\) 表示选完 \(i\) 个落脚点后的答案。

那么我们得到一个很 naive 的 dp 式：

\[g_{i,j}=\sum_kg_{i-1,k}w_{k,j} \]

这个显然可以矩阵优化。

记 \(\vec g_i=(g_{ij})_ {1\times n}\)，那么 \(\vec g_i=\vec g_{i-1}\cdot W\)，其中 \(W_{n\times n}\) 为给定的矩阵。

那么，\(g_{i,j}=(W^i)_ {x,j}\)。

或者说，\(\vec g_i\) 是 \(W^i\) 的第 \(x\) 个行向量。

那么，类似的，\(f_{i,j}=\binom Li g_{i,j}=\binom Li(W^i)_ {x,j}\)。

设 \(w_k=g^{p-1\over k}\)，即 \(w_k\) 为 \(k\) 次单位根（\(g\) 是 \(p\) 一个原根）。

作单位根反演。

\[ans_t=\sum_m[k\mid m-t]f_{m,y} \\=\sum_mf_{m,y} {\sum\limits_{i=0}^{k-1}w_k^{i(m-t)}\over k} \\=\dfrac1k\sum_{i=0}^{k-1}w_k^{-it}\sum_mw_k^{im}f_{m,y} \\=\dfrac1k\sum_{i=0}^{k-1}w_k^{-it}\sum_mw_k^{im}\binom Lm(W^m)_ {x,y} \\=\dfrac1k\sum_{i=0}^{k-1}w_k^{-it}(\sum_m\binom Lm(w_k^iW)^m)_ {x,y} \\=\dfrac1k\sum_{i=0}^{k-1}w_k^{-it}((I_n+w_k^iW)^L)_ {x,y}\]

（最后这步逆用了一次二项式定理，\(I_n\) 为 \(n\) 阶单位矩阵）

对每个 \(i\)，矩阵快速幂求出 \(h_i=((I_n+w_k^iW)^L)_ {x,y}\)。

\[ans_t=\dfrac1k\sum_{i=0}^{k-1}w_k^{-it}h_i \]

来吧，CZT！

由于 \(it=\binom{i+t}2-\binom i2-\binom t2\)，因此我们有

\[ans_t=\dfrac1k\sum_{i=0}^{k-1}w_k^{-it}h_i \\=\dfrac{w_k^\binom t2}k\sum_{i=0}^{k-1}w_k^{-\binom{i+t}2}(h_iw_k^{\binom i2})\]

一次差卷积。

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关于差卷积

不会吧不会吧都爆切白兔之舞了肯定会 CZT 啊，会 CZT 还不会差卷积吗。

鉴于有的题解中只讲了 reverse 方法求差卷积而没有讲述差卷积的确切概念，补充一下。

数列 \(\{a_n\}\) 与 \(\{b_n\}\) 的差卷积 \(\{c_n\}\) 表述为：

\[\forall0\le k\le n,c_k=\sum_ia_{i+k}b_i \]

做法就是设 \(d_i=b_{n-i}\)，再假设 \(a\) 与 \(d\) 用 FFT 卷成 \(C\)，那么 \(c_k=\sum\limits_ia_{i+k}d_{n-i}=C_{n+k}\)。

直观来看，就是把 \(b\) 翻转了后与 \(a\) 卷起来，再把系数平移。

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复杂度分析

求单位根：\(O(\ ^4\!\!\!\!\sqrt p\log\log p)\)。

预处理单位根幂次：\(\Theta(k+\log p)\)。

矩阵快速幂：\(\Theta(kn^3\log L)\)。

卷积：\(\Theta(k\log k)\)。

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Code

写的四次 FFT，和 KarryS307 的比了比，我的还快一点？

代码较长，放剪贴板了。