Luogu4495

前言

老师给的夯基训练题，感觉已有题解做法复杂度稍高，为此优化之。

一些记号

• $\tau(P)$ 表示 $P$ 的因子个数（即 $\operatorname{d}(P)$）。
• $\omega(P)$ 表示 $P$ 的本质不同质因子个数。

思路

把每个数 $v$ 变为 $\gcd\{v,P\}$，显然不影响答案。

此时数的种类只有 $O(\tau(P))$ 种。

则显然此时一种选法合法当且仅当 $\gcd\{v|v\in\mathcal B\}|w$，其中 $\mathcal B$ 代表选择的数的集合（背包）。

我们进行质因数分解，则每个数可被唯一分解。

$$P=\prod p_k^{a_k},v=\prod p_k^{b_k}(b_k\le a_k)$$

因此在此意义下有良好的偏序关系。

定义每个数 $v$ 的选法的 GF 为 $z^P+z^v$。

不妨考虑对每个数的 GF 在每个质数的幂次上同时做 $\min$ 卷积，即所谓 $\gcd$ 卷积。显然此时再做一次 zeta 变换（也即 Dirichlet 前缀和）即得答案系数。

$\gcd$ 卷积就和我们的交 / 并卷积类似了。

于是考虑调用 CF449D 的套路。

$$\prod z^P+z^v$$

其中乘法指 $\gcd$ 卷积。

我们把每个 GF 用 FMT 在数论上做一遍，逐项分别乘起来，IFMT 回去，就是 $\gcd$ 卷积，但这样复杂度不够优（为 $O(\min\{n,\tau(P)\}\tau(P)\omega(P))$ 的，也即此题大多数题解的复杂度）。

由于无论哪个位置，$z^P$ 在 FMT 后都会对之施以贡献，所以每个 $z^v$ 在其所能影响的范围的加上 $1$ 相当于把 $1$ 变成 $2$，也即乘以 $2$。

于是不妨令所有 $v$ 对 $v$ 位置直接施以 $+1$ 的贡献，再做一次 FMT，然后在把每个位置的值 $a$ 变为 $2^a$，最后再 IFMT 回来。

复杂度分析

至此，复杂度为 $O(n\log P+q\log P+\tau(P)\omega(P))$，可近似认为是 $O(n\log P+q\log P+P^{\frac13}\log\log P)$，其中 $\log P$ 因子来源于 $\gcd$ 预处理（当然，是对着 $P$ 的分解式搞）。

对 $P$ 的质因数分解可用 Pollad-Rho 做到 $O(P^{\frac14+\epsilon})$，此处不计。

事实上，通过更精细的方法，对 $n,q$ 旁的 $\log P$ 因子可以作出进一步优化。