Luogu4233

前言

似乎又是道不错的 Symbolic Method 练习题？

大力宣传一下符号化方法，使用这一方法可以秒掉许多困难的数数题。

思路

不是让你求期望吗？直接求比值即可。

注意对 \(i=1,2\) 的情况特判。

分子

即竞赛图哈密顿回路计数。

不妨钦定 \(1\) 为起点，然后直接枚举接下来的路径中 \(n-1\) 个点，最后连回起点。

然后直接把剩下 \({n(n-1)\over2}-n\) 条边任意定向。

即，总哈密顿回路数为 \((n-1)!2^{{n(n-1)\over2}-n}\)。

分母

一个结论：竞赛图缩点后会变成一条链状 DAG，其中每个点往其后的所有点引出一条边。

另一个结论：竞赛图有哈密顿回路等价于其强连通，即可以缩成单个点。

我们记 \(\mathcal T\) 表示带标号强连通竞赛图所对应的组合类，记 \(\mathcal U\) 表示带标号竞赛图所对应的组合类。

立刻由结论得到：

\[\mathcal U=\operatorname{SEQ}(\mathcal T) \]

其中 \(\operatorname{SEQ}\) 表示带标号 Sequence 构造。

于是立刻有：

\[\hat U={1\over1-\hat T} \]

故：

\[\hat T=1-\hat U^{-1} \]

直接做就好了。