CF53E
Update
- 2022-02-10 修改了柿子中的几处小错误，并增加部分说明。
前言
校内模拟赛做到这题，我写了一个 \(O^* (2^n)\) 的做法，结果发现旁边同学全是状压 dp 的 \(O^* (3^n)\) 甚至不知道咋么来的 \(O^* (4^n)\) 做法……
那么我是咋做的呢？容斥 + 矩阵树定理。
题意简述
给一个节点个数不超过 \(10\) 的简单无向图，问有多少棵生成树（有标号）使得它的叶结点个数为 \(k\)。
思路
分类讨论。
特判掉 \(n=1,2\) 的情况，这个很好处理。
下面考虑 \(n\ge3\) 的情况，此时叶结点个数严格小于 \(n\)。
看到生成树计数就想到矩阵树定理。
但是这有一个 \(k\) 个叶子的要求，那咋做哩？
考虑容斥。
我们假设已经钦定了某 \(\omega\ \ (\omega<n)\) 个叶结点组合 \(a_1,a_2,\dots,a_\omega\)。
那么这些叶结点一定和未被钦定的结点相连，每个被钦定的叶结点有一定数量的选法。
对未被钦定的结点跑矩阵树。
由乘法原理，把这些数乘起来，即是对这 \(\omega\) 个结点钦定时的方案数 \(f_{\{a_\omega\}}\)。
我们假设容斥系数是 \(S_{\{a_\omega\}}\)
考虑每个真正的叶结点方案 \(A\) 在哪些钦定 \(\{a_\omega\}\) 时被枚举到，有：
\[\sum_\omega\sum_{\{a_\omega\}\subseteq A}S_{\{a_\omega\}}=[|A|=k]
\]
我们不难想到对于同样的 \(\omega\)，其容斥系数相同，即 \(S_\omega\)。（可以数学归纳法证明）
那么上式即：
\[\sum_\omega\binom{|A|}{\omega}S_\omega=[|A|=k]
\]
这个东西是一个二项式反演的形式，我们可以立即得到：
\[S_\omega=(-1)^{\omega-k}\binom\omega k
\]
于是答案即：
\[\sum_{k\le|\{a\}|<n}(-1)^{|\{a\}|-k}\binom{|\{a\}|}kf_{\{a\}}
\]
枚举所有这样的 \(\{a\}\) 就好了。
总复杂度 \(O(n^32^n)\)，即 \(O^* (2^n)\)。
Code
// 10^8 < 998244353
// 直接在模 998244353 的剩余系下操作
// 钦定叶子，容斥 + 矩阵树即可
// 容斥系数可以二项式反演
// O*(2^n)
// 可以通过
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <vector>
typedef long long llt;
typedef unsigned uint;typedef unsigned long long ullt;
typedef bool bol;typedef char chr;typedef void voi;
typedef double dbl;
template<typename T>bol _max(T&a,T b){return(a<b)?a=b,true:false;}
template<typename T>bol _min(T&a,T b){return(b<a)?a=b,true:false;}
template<typename T>T power(T base,T index,T mod){return((index<=1)?(index?base:1):(power(base*base%mod,index>>1,mod)*power(base,index&1,mod)))%mod;}
template<typename T>T lowbit(T n){return n&-n;}
template<typename T>T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<typename T>T lcm(T a,T b){return(a!=0||b!=0)?a/gcd(a,b)*b:(T)0;}
template<typename T>T exgcd(T a,T b,T&x,T&y){if(!b)return y=0,x=1,a;T ans=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return ans;}
template<const ullt p=998244353>
class mod_ullt
{
private:
ullt v;
inline ullt chg(ullt w){return(w<p)?w:w-p;}
inline mod_ullt _chg(ullt w){mod_ullt ans;ans.v=(w<p)?w:w-p;return ans;}
public:
mod_ullt():v(0){}
mod_ullt(ullt v):v(v%p){}
bol empty(){return!v;}
inline ullt val(){return v;}
friend bol operator<(mod_ullt a,mod_ullt b){return a.v<b.v;}
friend bol operator>(mod_ullt a,mod_ullt b){return a.v>b.v;}
friend bol operator<=(mod_ullt a,mod_ullt b){return a.v<=b.v;}
friend bol operator>=(mod_ullt a,mod_ullt b){return a.v>=b.v;}
friend bol operator==(mod_ullt a,mod_ullt b){return a.v==b.v;}
friend bol operator!=(mod_ullt a,mod_ullt b){return a.v!=b.v;}
inline friend mod_ullt operator+(mod_ullt a,mod_ullt b){return a._chg(a.v+b.v);}
inline friend mod_ullt operator-(mod_ullt a,mod_ullt b){return a._chg(a.v+a.chg(p-b.v));}
inline friend mod_ullt operator*(mod_ullt a,mod_ullt b){return a.v*b.v;}
friend mod_ullt operator/(mod_ullt a,mod_ullt b){return b._power(p-2)*a.v;}
inline mod_ullt operator-(){return _chg(p-v);}
mod_ullt sqrt()
{
if(power(v,(p-1)>>1,p)!=1)return 0;
mod_ullt b=1;do b++;while(b._power((p-1)>>1)==1);
ullt t=p-1,s=0,k=1;while(!(t&1))s++,t>>=1;
mod_ullt x=_power((t+1)>>1),e=_power(t);
while(k<s)
{
if(e._power(1llu<<(s-k-1))!=1)x*=b._power((1llu<<(k-1))*t);
e=_power(p-2)*x*x,k++;
}
return _min(x,-x),x;
}
mod_ullt inv(){return _power(p-2);}
mod_ullt _power(ullt index){mod_ullt ans(1),w(v);while(index){if(index&1)ans*=w;w*=w,index>>=1;}return ans;}
voi read(){v=0;chr c;do c=getchar();while(c>'9'||c<'0');do v=(c-'0'+v*10)%p,c=getchar();while(c>='0'&&c<='9');v%=p;}
voi print()
{
static chr C[20];uint tp=0;
ullt w=v;do C[tp++]=w%10+'0',w/=10;while(w);
while(tp--)putchar(C[tp]);
}
voi println(){print(),putchar('\n');}
mod_ullt operator++(int){mod_ullt ans=*this;return v=chg(v+1),ans;}
public:
inline ullt&operator()(){return v;}
inline mod_ullt&operator+=(mod_ullt b){return*this=_chg(v+b.v);}
inline mod_ullt&operator-=(mod_ullt b){return*this=_chg(v+chg(p-b.v));}
inline mod_ullt&operator*=(mod_ullt b){return*this=v*b.v;}
mod_ullt&operator/=(mod_ullt b){return*this=b._power(p-2)*v;}
mod_ullt&operator++(){return v=chg(v+1),*this;}
};
const ullt Mod=998244353;
typedef mod_ullt<Mod>modint;
const uint Siz=35;
struct Mat
{
modint M[Siz][Siz];uint n;
Mat():n(0){}
Mat(uint n):n(n){}
modint*operator[](uint n){return M[n];}
voi bzr(){resize(0);}
voi resize(uint s)
{
for(uint i=s;i<n;i++)for(uint j=0;j<n;j++)M[i][j]=M[j][i]=0;
n=s;
}
modint det()
{
Mat A=*this;
modint ans(1);
for(uint i=0;i<n;i++)
{
{
uint j;for(j=i;j<n&&!A[j][i]();j++);
if(j==n)return 0;
if(i!=j)
{
ans=-ans;
for(uint k=0;k<n;k++)std::swap(A[i][k],A[j][k]);
}
}
modint qaq=A[i][i];
ans*=qaq;qaq=qaq.inv();
for(uint j=0;j<n;j++)A[i][j]*=qaq;
for(uint j=0;j<n;j++)if(A[j][i]()&&i!=j)
{
qaq=A[j][i];
for(uint k=0;k<n;k++)A[j][k]-=A[i][k]*qaq;
}
}
for(uint i=0;i<n;i++)ans*=A[i][i];
return ans;
}
};
typedef std::pair<uint,uint>Pair;
std::vector<Pair>E;
Mat M;
modint P[35],Q[35];
modint binom(uint n,uint m){return P[n]*Q[m]*Q[n-m];}
int main()
{
P[0]=1;for(uint i=1;i<=30;i++)P[i]=P[i-1]*i;
Q[30]=P[30].inv();for(uint i=30;i;i--)Q[i-1]=Q[i]*i;
uint n,m,k;
scanf("%u%u%u",&n,&m,&k);
if(n==1)puts(k==1?"1":"0");
else if(n==2)puts(m==1&&k==2?"1":"0");
else
{
if(!k||k>=n)return puts("0"),0;
uint u,v;while(m--)scanf("%u%u",&u,&v),E.push_back(Pair(u-1,v-1));
modint ans;
for(uint i=0;i<(1u<<n)-1;i++)if(__builtin_popcount(i)>=k)
{
modint now;
std::vector<uint>Leaf,Any,Back(n);
for(uint j=0;j<n;j++)
if(i>>j&1)Back[j]=Leaf.size(),Leaf.push_back(j);
else Back[j]=Any.size(),Any.push_back(j);
std::vector<modint>Time(Leaf.size());
M.bzr();
M.resize(Any.size());
for(auto e:E)
{
if((i>>e.first&1)&&!(i>>e.second&1))
Time[Back[e.first]]++;
else if(!(i>>e.first&1)&&(i>>e.second&1))
Time[Back[e.second]]++;
else if(!(i>>e.first&1)&&!(i>>e.second&1))
{
u=Back[e.first],v=Back[e.second];
M[u][u]+=1,M[v][v]+=1,
M[u][v]-=1,M[v][u]-=1;
}
}
M.resize(Any.size()-1);
now=M.det();
for(auto t:Time)now*=t;
uint w=__builtin_popcount(i);
ans+=((w-k)&1)?-binom(w,k)*now:binom(w,k)*now;
}
ans.println();
}
return 0;
}
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