CF1392H

几个组合恒等式：

\[\binom n{k-t}=\sum_i(-1)^{t-i}\binom ti\binom{n+i}k \]

\[\binom nm\binom mk=\binom nk\binom{n-k}{m-k} \]

\[\sum_k{\binom mk\over\binom nk}={n+1\over n+1-m} \]

\[\sum_k(-1)^{n-k}\binom nkf(k)=(\Delta^nf)(0) \]

以下推导要用。

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考虑 dp。

\[f_n=0 \]

\[\\ f_u=\sum_k\sum_t{\binom ut\binom{n-u}{k-t}k!m(n+m-k-1)!\over(n+m)!}(f_{u-t+k}+k+1) \\=\frac{m+n+1}{m+1}+\frac m{n+m}\sum_k\sum_t{\binom ut\binom{n-u}{k-t}\over\binom{n+m-1}k}f_{u-t+k} \\\]

\[(1-\frac m{n+m}\sum_k{\binom uk\over\binom{n+m-1}k})f_u =\frac{m+n+1}{m+1}+\frac m{n+m}\sum_k\sum_{t<k}{\binom ut\binom{n-u}{k-t}\over\binom{n+m-1}k}f_{u-t+k} \]

\[f_u=\frac{(m+n+1)(n+m-u)}{(m+1)(n-u)}+\frac{m(n+m-u)}{(n+m)(n-u)}\sum_k\sum_{t<k}{\binom ut\binom{n-u}{k-t}\over\binom{n+m-1}k}f_{u-t+k} \\=\frac{(m+n+1)(n+m-u)}{(m+1)(n-u)}+\frac{m(n+m-u)}{(n+m)(n-u)}\sum_k\sum_{t>0}{\binom u{k-t}\binom{n-u}t\over\binom{n+m-1}k}f_{u+t} \\=\frac{(m+n+1)(n+m-u)}{(m+1)(n-u)}+\frac{m(n+m-u)}{(n+m)(n-u)}\sum_{t>0}\binom{n-u}tf_{u+t}\sum_k\frac{\binom u{k-t}}{\binom{n+m-1}k} \]

\[\sum_k\frac{\binom u{k-t}}{\binom{n+m-1}k}=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}{}_3F_2\Bigg(\begin{matrix}1,1,t-u-1+\varepsilon\\t,-n-m+\varepsilon\end{matrix}\Bigg|1\Bigg) \]

由 \(\rm Saalsch\"utz\) 恒等式，即

\[{}_3F_2\Bigg(\begin{matrix}a,b,-n\\c,a+b-c-n+1\end{matrix}\Bigg|1\Bigg)=\frac{(a-c)^{\underline n}(b-c)^{\underline n}}{(-c)^{\underline n}(a+b-c)^{\underline n}} \]

唔，好像不匹配……

\[\sum_k\frac{\binom u{k-t}}{\binom{n+m-1}k}=\sum_k\sum_i\frac{\binom ti\binom{u+i}k(-1)^{i-t}}{\binom{n+m-1}k} \\=\sum_i(-1)^{t-i}\binom ti\frac{m+n}{m+n-u-i} \\={(n+m)t!(m+n-u-t-1)!\over(m+n-u)!}\quad(\text{高阶差分})\]

\[f_u=\frac{(m+n+1)(n+m-u)}{(m+1)(n-u)}+{m(n-u-1)!\over(m+n-u-1)!}\sum_{t>0}{(m+n-u-t-1)!\over(n-u-t)!}f_{u+t} \]

\[g_u={(m+n-u-1)!\over(n-u)!}f_u \]

\[f_u=\frac{(m+n+1)(n+m-u)}{(m+1)(n-u)}+{m(n-u-1)!\over(m+n-u-1)!}\sum_{t>u}g_t \]

直接后缀和优化转移就好了。

\[g_u=\frac{(m+n+1)(n+m-u)!}{(m+1)(n-u)(n-u)!}+{m\over n-u}\sum_{t>u}g_t \]