APIO 2024 试机赛 T1 题解

反正是试机赛，早点发出来也不要紧，所以就先发出来了。

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容易观察到，我们每步总是向右走到可达的最远点。

然而，由于可能单步最优的解在区间外，因此不能直接倍增。

观察到区间最值一定要被选，因此考虑由其分段，变为两个存在一个端点处为最值的子问题。

容易发现这样从最大值开始，下一步必定跳到最小值，再往后必定跳到最大值……以此类推。

考虑如果离线，我们可以对区间的右端点推进扫描线，并维护出当前后缀最大值和最小值位置的单调栈。

这样，我们如果可以快速维护出这些后缀最值之间的树状关系，从而计算出当前节点的深度，即可得到答案。

假设计算时用到的是最大值，则我们只用知道最大值栈到根节点的距离。

考虑最大值栈上相邻两个点。

如果其之间存在数值在前缀最小值上，则答案相差 \(2\)：需要先转去最小值，再转回最大值；如没有，且两者均在栈顶下面，那么其必定转到同一个最小值上，故答案相同。

可以发现，由于单次操作只会对相邻位置的差值造成贡献，可以用线段树维护。

使用主席树即可在线。

总复杂度 \(O(n\log n)\)。