或许你从小就一直在思考的两个算术问题

你是否很小就注意到了下面这两个有趣的算术现象？这两个简单的算术谜题是否一直都困扰着你？今天，大家终于有机会解开谜团了。

    问题一： 2 加 2 等于 4 ， 2 乘 2 也等于 4 。还有其它的整数对，它们的和与积也相等吗？

    我们要求的就是 mn = m+n 的整数解。方程可以变为

      mn - m - n + 1 = 1

    也就是

      (m - 1)(n - 1) = 1

    由于 m 、 n 都是整数，因此 m - 1 和 n - 1 也都是整数。两个整数之积为 1 ，只有两种情况——这两个数都是 1，或者这两个数都是 -1 。前者对应了 m = 2, n = 2 ，后者解出来则是 m = 0, n = 0 。如果把 (0, 0) 看作平凡解（或者如果我们把问题限制在正整数范围）的话，非平凡解就只有 (2, 2)，没有其它的了。

    有趣的是，如果三个正整数之和恰好等于它们的乘积，解也只有一个：(1, 2, 3) 。更有趣的是，如果四个正整数之和恰好等于它们的乘积，解仍然是唯一的：(1, 1, 2, 4) 。如果五个数呢？这一回，解就不止一个了，(1, 1, 2, 2, 2) 、 (1, 1, 1, 3, 3) 、 (1, 1, 1, 2, 5) 都是满足要求的解。
    我们自然想问，对于哪些 n，“n 个正整数的和恰好等于它们的积”有唯一解。让人意想不到的是，这竟然是一个数学未解之谜。目前已经知道，在 n < 13 587 782 064 的范围内，只有 n = 2, 3, 4, 6, 24, 114, 174, 444 时有唯一解。是否有其它满足要求的 n ，这个问题至今仍未解决。

 
 
    问题二： 2 的 4 次方等于 16 ， 4 的 2 次方也等于 16 。还有其它的正整数 m 和 n ，使得 m 的 n 次方和 n 的 m 次方也相等吗？

    当然，我们忽略所有 m = n 的平凡解。另外，当 m = 1 时，有 1ⁿ = n¹ ，于是 m = n = 1 。因此，下面我们都假设 2 ≤ m < n 。

    等式两边同时除以 m^m，有

      mⁿ/m^m = n^m/m^m

    即

      m^{n - m} = (n/m)^m

    由于等式左边是一个整数，因此等式右边也一定是一个整数，可见 n 一定是 m 的整数倍。不妨令 n = k·m ，其中 k 是一个大于等于 2 的整数。于是上式继续变为：

      m^{km - m} = k^m

    即

      m^{m(k - 1)} = k^m

    两边同时开 m 次方，有

      m^{k - 1} = k

    当 k = 2 时，上式化为 m¹ = 2，于是我们找到一组非平凡解 m = 2, n = 4 。
    如果 k = 3 呢？上式将变为 m² = 3。注意到我们的 m 至少等于 2 ，因此 m² 至少也是 4 ，是不可能等于 3 的。
    如果 k 更大呢？m^{k - 1} 肯定会更大，更不可能等于 k 了。我们用数学归纳法证明这一点。
    假设 m^{k - 2} > k - 1，那么m^{k - 1} = m · m^{k - 2} > m(k - 1) ；但 m 是大于等于 2 的，因而 m(k - 1) ≥ 2(k - 1) ；但 k 是大于等于 3 的，因此 2(k - 1) = 2k - 2 > k。
    因此， (2, 4) 是这个算术问题的唯一一组非平凡解。