01背包问题总结（一）

01背包问题总结

 一 问题描述：
     有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
    所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。

二 解决方案：
   考虑使用dp问题 求解，定义一个递归式 opt[i][v] 表示前i个物品，在背包容量大小为v的情况下，最大的装载量。
     opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i]) 
   解释如下：
     opt[i-1][v] 表示第i件物品不装入背包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品装入背包中。

  花费如下：
     时间复杂度为o(V * T) ，空间复杂度为o(V * T) 。 时间复杂度已经无法优化，但是空间复杂度则可以进行优化。
     但必须将V 递减的方式进行遍历，即V.......0 的方式进行。
 
三 初始化：
   （1）若要求背包必须放满，则初始如下：
        f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时，只接受一个容积为0的物品入包。
   （2）若要求背包可以空下，则初始化如下：
        f[0...V] = 0 ，表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。    
   具体解释如下：
     初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。
     如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，
     其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。
     如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，
     这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

 四 代码如下：
   

/*
 01背包，使用了优化后的存储空间 
 建立数组
 
   f[i][v] = max(f[i-1][v]  ,  f[i-1][v-c[i]] + w[i])  
    将前i件物品，放入容量为v的背包中的最大值。
     

下面介绍一个优化，使用一维数组，来表示
(1) f[v]表示每一种类型的物品，在容量为v的情况下，最大值。
    但是体积循环的时候，需要从v----1循环递减。 
   
   
初始化问题： 
(1)若要求背包中不允许有剩余空间，则可以将f[0]均初始化为0，其余的f[1..n]均初始化为-INF 。 
    表示只有当容积为0 的时候，允许放入质量为0的物品。
    而当容积不为0的情况下，不允许放入质量为0的物品，并且把状态置为未知状态。   



(2)若要求背包中允许有剩余空间 ，则可以将f[1n]，均初始化为0。
   这样，当放不下去的时候，可以空着。 
    
          
     
     
*/

#include <iostream>
 using namespace std ; 
 const  int V = 1000 ;  //总的体积 
 const  int T = 5 ;    //物品的种类 
 int f[V+1] ;
 //#define EMPTY                                      //可以不装满 
 int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5};        //价值 
 int c[T] = {600 , 400 , 200 , 200 , 300};        //每一个的体积 
 const int INF = -66536  ;
   
 int package()
 {
 #ifdef EMPTY
    for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译，表示背包可以不存储满
      f[i] = 0 ;    
 #else
    f[0] = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= V ;i++)//条件编译，表示背包必须全部存储满
      f[i] = INF ;   
 #endif
    
    for(int i = 0 ; i < T ; i++)
    {
      for(int v = V ; v >= c[i] ;v--) //必须全部从V递减到0
         {              
           f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v])  ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。
         }                 
    }
    return f[V] ;        
 }
 
 int main()
 {
      
   int temp = package() ;   
   cout<<temp<<endl     ;   
   system("pause")      ;
   return 0 ;    
 }