全排列生成算法：next_permutation

概念

全排列的生成算法有很多种，有递归遍例，也有循环移位法等等。但C++/STL中定义的next_permutation和prev_permutation函数则是非常灵活且高效的一种方法，它被广泛的应用于为指定序列生成不同的排列。本文将详细的介绍prev_permutation函数的内部算法。

按照STL文档的描述，next_permutation函数将按字母表顺序生成给定序列的下一个较大的排列，直到整个序列为降序为止。prev_permutation函数与之相反，是生成给定序列的上一个较小的排列。二者原理相同，仅遍例顺序相反，这里仅以next_permutation为例介绍算法。

先对序列大小的比较做出定义：两个长度相同的序列，从两者的第一个元素开始向后寻找，直到出现一个不同元素（也可能就是第它们的第一个元素），该元素较大的序列为大，反之序列为小；若一直到最后一个元素都相同，那么两个序列相等。

设当前序列为pn，下一个较大的序列为p_n+1，这里蕴藏的含义是再也找不到另外的序列p_m，使得p_n < p_m < p_n+1。

 

问题

给定任意非空序列，生成下一个较大或较小的排列。

 

过程

根据上述概念易知，对于一个任意序列，最小的排列是增序，最大的为减序。那么给定一个p_n要如何才能生成p_n+1呢？先来看下面的例子：

设3 6 4 2为p_n，下一个序列p_n+1应该是4 2 3 6。观察第一个序列可以发现p_n中的6 4 2已经为减序，在这个子集中再也无法排出更大的序列了，因此必须移动3的位置且要找一个数来取代3的位置。在6 4 2中6和4都比3大，但6比3大的太多了，只能选4。将4和3的位置对调后形成排列4 6 3 2。注意，由于4和3大小的相邻关系，对调后产生的子集6 3 2仍保持逆序，即该子集最大的一种排列。而4是第一次移动到头一位的，需要右边的子集为最小的排列，因此直接将6 3 2倒转为2 3 6便得到了正确的一个序列p_n+1。

下面归纳分析该过程。假设一个有m个元素的序列p_n，其下一组较大排列为p_n+1：

若p_n的最右端的2个元素构成一个最小的增序子集，那么直接反转这2个元素使该子集成为减序即可得到p_n+1。理由是p_n和p_n+1的左边m-2个元素都相等（没有对左面的元素进行操作），仅能靠最右2个元素来分出大小。而这2个元素只能出现2种排列，其中较大的一种是减序。

若p_n的最右最多有s个元素构成一个减序子集，令i = m - s，则有p_n(i) < p_n(i+1)，其中p_n(i)表示p的某个排列p_n的第i个元素。因此若将p_n(i)和其右边的子集s {p_n(i+1), p_n(i+2), ..., p_n(m)}中任意一个元素调换必能得到一个较大的排列（不一定是下一个），因此必须保持p_n(i)左边的元素不动，并在子集s {p_n(i+1), p_n(i+2), ..., p_n(m)}中找到一个仅比p_n(i)大的元素p_n(j)，即不存在p_n(k) ∈ s且p_n(i) < p_n(k) < p_n(j)，然后将二者调换位置。现在只要使新子集{p_n(i+1), p_n(i+2), ..., p_n(i), ...,p_n(m)}成为最小排列即得到p_n+1。注意到新子集仍保持减序，那么此时直接将其反转即可得到p_n+1 {p_n(1), p_n(2), ..., p_n(j), p_n(m), p_n(m-1), ..., p_n(i), ..., p_n(i+2), p_n(i+1)}。

 

复杂度

最好的情况为p_n的最右边的2个元素构成一个最小的增序子集，交换次数为1，复杂度为O(1)，最差的情况为1个元素最小，而右面的所有元素构成减序子集，这样需要先将第1个元素换到最右，然后反转右面的所有元素。交换次数为1+(n-1)/2，复杂度为O(n)。因为各种排列等可能出现，所以平均复杂度即为O(n)。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
//主函数，算法详见相关说明
int main(void) {
    //循环处理输入的每一个字符串
    for (string str; cin >> str;) {
        if (str.empty()) {
            continue;
        }
        //如果字符串只有1个字符，则直接输出结束
        if (str.length() <= 1) {
            cout << "No more Permutation" << endl;
        }
        //iPivot为右边最大减序子集左边相邻的一个元素
        string::iterator iPivot = str.end(), iNewHead;
        //查找右边最大的减序子集
        for (--iPivot; iPivot != str.begin(); --iPivot) {
            if (*(iPivot - 1) <= *iPivot ) {
                break;
            }
        }
        //如果整个序列都为减序，则重排结束。
        if (iPivot == str.begin()) {
            cout << "No more Permutation" << endl;
        }
        //iPivot指向子集左边相邻的一个元素
        iPivot--;
        //iNewHead为仅比iPivot大的元素，在右侧减序子集中寻找
        for (iNewHead = iPivot + 1; iNewHead != str.end(); ++iNewHead) {
            if (*iNewHead < *iPivot) {
                break;
            }
        }
        //交换iPivot和iNewHead的值，但不改变它们的指向
        iter_swap(iPivot, --iNewHead);
        //反转右侧减序子集，使之成为最小的增序子集
        reverse(iPivot + 1, str.end());
        //本轮重排完成，输出结果
        cout << str << endl;
    }
    return 0;
}