树状数组
树状数组是一种非常优雅的数据结构.
当要频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组.
最直接的算法可以在O(1)时间内完成一次修改,但是需要O(n)时间来进行一次查询.而树状数组的修改和查询均可在O(log(n))的时间内完成.
设a[1...N]为原数组,定义c[1...N]为对应的树状数组:
c[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + ... + a[i]
其中k为i的二进制表示末尾0的个数,所以2^k即为i的二进制表示的最后一个1的权值.
所以2^k可以表示为n&(n^(n-1))或更简单的n&(-n):
1 int lowbit(int n) 2 { 3 return n& (-n); //or return n&(n^(n-1)); 4 }
对a[n]进行修改后,需要相应的修改c数组中的p1, p2, p3...等一系列元素
其中p1 = n, pi+1 = pi + lowbit(pi)
所以修改原数组中的第n个元素可以实现为:
1 void Modify(int n, int delta) 2 { 3 while(n <= N) 4 { 5 c[n] += delta; 6 n += lowbit(n); 7 } 8 }
当要查询a[1],a[2]...a[n]的元素之和时,需要累加c数组中的q1, q2, q3...等一系列元素
其中q1 = n,
qi+1 = qi - lowbit(qi)
所以计算a[1] + a[2] + .. a[n]可以实现为:
1 int Sum(int n) 2 { 3 int result = 0; 4 while(n != 0) 5 { result += c[n]; n -= lowbit(n); } 6 return result; 7 }
树状数组可以扩充到二维。在二维情况下:
C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.
在二维情况下，对应的更新和查询函数为：
1 void Modify(int x, int y, int delta) 2 { 3 for(int i = x; i <= N; i += lowbit(i)) 4 for(int j = y; j <= N; j += lowbit(i)) 5 C[x][y] += delta; 6 } 7 8 int Sum(int i, int j) 9 { 10 int result = 0; 11 for(int x = i; x > 0; x -= lowerbit(x)) 12 { 13 for(int y = j; y > 0; y -= lowerbit(y)) 14 { 15 result += C[x][y]; 16 } 17 } 18 19 return result; 20 }
树状数组可以解决更新线段区间，查询某个点的问题。
在这种情况下，更新线段区间和查询点的时间复杂度仍然为O(logn).
设A[1,N]为我们要处理的数组。
另外设置一个数组B[1,N]，使得B[1] + B[2] + .. B[i] = A[i], 其中1 <= i <= N.
即B[i] = A[i] - A[i-1]
当要查询A[i]的时候，我们只需在数组B上使用一般的树状数组操作查询区间[1,i]即可
当我们要给区间A[a~b]加上delta时，只需要在数组B上对B[a]进行一般树状数组的更新delta的操作，同时对数组B上对B[b+1]进行 - delta操作。
这种使用方式同样可以扩展到二维。
二维情况下，
B[i][j] = A[i][j] - A[i-1][j] - A[i][j-1]
当要查询A[i][j]的时候，只需在数组B上查询B[0][0]到B[i][j]的和即可。
当要给矩形A[x1][y1],A[x2][y2]加上delta的时候，只需要在数组B上对B[x1][y1], [x2+1][y2+1]进行一般树状数组的更新delta的操作，同时对B[x1][y2+1], B[x2+1][y1]进行一般树状数组的更新-delta的操作即可。
通过上面的讨论可以看出。树状数组支持对点的更新，对区间和点的查询。
通过稍微改变，可以支持对区间的更新，对点的查询。但是不支持对区间的查询(偶没想出来)。
通过使用线段树，可以支持所有这些操作，包括对区间的更新和对区间的查询。
但是线段树的实现更为复杂，所以能用树状数组解决的问题不需要用线段树
