NYOJ 144 小珂的苦恼
存在整数x和y使得二元一次方程 a*x+b*y=n有解,则n为a,b的最大公约数的整数倍即可，至于为啥，正在研究，应该是数论里的知识。。。。。
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 int main() 4 { 5 long int a,b,n,a1,b1,t,m,r; 6 scanf("%ld",&m); 7 while(m--) 8 { 9 scanf("%ld%ld%ld",&a,&b,&n); 10 a1=a;b1=b; 11 if(a1<b1) 12 {t=a1;a1=b1;b1=t;} 13 while(b1) 14 { 15 r=a1%b1; 16 a1=b1; 17 b1=r; 18 } 19 if(n%a1==0) printf("Yes\n"); 20 else printf("No\n"); 21 } 22 system("pause"); 23 return 0; 24 }
知识补充：
1：本题主要用到的是扩展欧几里德定理: 对于与不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数那么存在唯一的整数 x，y.使得 gcd（a，b）=ax+by;
先介绍一下：
“扩展欧几里德原理”是由“欧几里德原理”扩展来的，有的书上叫“费蜀（Bezout）定理”，总之有个这个事
c=gcd(a,b)表示a，b两数的最大公约数，则存在：ax+by=c一定存在整数x，y使等式成立
先说一下“欧几里德原理”，其实就是“辗转相除法”，也就是中国老祖先的“更相减损之术”，这个算法的主要目的是求出两个数的最大公约数，具体是一个递归的过程，简单说来是：
gcd（a,b）=gcd(b,a mod b)
终止条件是：gcd（a,b）中的a mod b=0，然后输出b
下面是这个定理的推导过程:
证明“欧几里德原理（算法）”：
设a,b,c为三个不全为零的整数，且有整数t使：a=b*t+c，则a、b与b、c有相同的公约数，因而，gcd(a,b)=gcd(b,c)，即gcd(a,b)=gcd(b,a-b*t)（证明这个：d是a,b的公约数，则设a=d*i，b=d*j，由a=b*t+c => c=a-b*t => c=d*(i-j*t)，所以，d也是c的公约数）
欧几里德算法（辗转相除法）的工作过程如下：
1、a=b*q[1]+r[1]
2、b=r[1]*q[2]+r[2]
3、r[1]=r[2]*q[3]+r[3]
.
.
.
n、r[n-2]=r[n-1]*q[n]+r[n]
n+1、r[n-1]=r[n]*q[n+1]+r[n+1]
此时，r[n+1]=0，因为每次带余除法，余数至少减一（因为余数比除数小，这里以第一个式子为例，这个式子相当于a除以b商q[1]余r[1]，这里一定存在b>r[1]），即b>r[1]>r[2]>r[3]>…>r[n]>r[n+1]=0，而b为有限数，因此必有一个最多不超过b的正整数n存在，使得r[n]>0，而r[n+1]=0，故有
r[n] =gcd(r[n],r[n-1])=…=gcd(r[2],r[1])=gcd(r[1],b)=gcd(a,b)
这就是“欧几里德原理（算法）”的证明，
下面是扩展“欧几里德原理（算法）”的证明：
其实，刚才已经证明了，因为就是辗转相除法的递推过程，然后就是以此把上述递推式迭代累加，化简就不用了，只要写得有些规律，能看出a，b的系数及一些常数项就行了，我得到的是整数倍的a+整数倍的a+整数倍的c=c这个等式，然后再化简可以得到这样的结果c=r[n]=ax+by，此时就证明扩展欧几里德定理了。
有一种特殊情况，就是当gcd(a,b)=1时，存在ax+by=1，x,y存在唯一整数解。
结论（大家都可以记住的）：
a*x+b*y=gcd（a，b）x，y一定有整数解，且是唯一的！！
当然如果不好懂得话，可以这样粗略证明:
- 存在唯一的整数 x，y
- 使得 gcd（a，b）=ax+by
– a是gcd的倍数，可设a=i*gcd
– b是gcd的倍数，可设b=j*gcd
– 现在要用整数个a,b凑出gcd来
– 为了分析方便，不妨设a>b
– 不难看出：a-b可被表示出来，且它也是gcd的倍数
– 因此gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)
– 实际上如果a=n个b+余数，则可以把n个b都减去
– 再怎么减，都是gcd的倍数
– 当n足够大时：a-nb=a mod b
– 因此gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
– 欧几里德定理证明结束
– 从上边证明过程可以看出a-b,a-2b,a-3b,……a-nb都可以被表示出来，且x,y都是整数解
– 当n足够大时：a-nb=a mod b
– 即 a mod b可被表示出来，且x,y为整数解
– gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)等价，且x,y都为整数解
– 相同子问题
– 最终gcd可以被表示出来
这种题考的就是数学知识！！！表示无语！！
2：x+by=n 其中a,b,n均为整数，要使方程有整数解则：(a,b)|n. 这是一个判断定理，想知道怎么证明的自己查吧，此不再累叙。
这样，本题的主要就是解出a ,b的最大公约数。 解最大公约数的方法我知道的有两种：
1，辗转相除法
2，辗转相减法
下面是具体的代码实现：
1，辗转相除法：
2，辗转相减法：
两种方法虽然都是可以用来解最大公约数的，可是在时间和空间内存的分配上有很大的差别。。。
