数据结构之并查集
1、 概述
并查集（Disjoint set或者Union-find set）是一种树型的数据结构，常用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。
2、 基本操作
并查集是一种非常简单的数据结构，它主要涉及两个基本操作，分别为：
A． 合并两个不相交集合
B． 判断两个元素是否属于同一个集合
（1） 合并两个不相交集合（Union(x,y)）
合并操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。
上图为两个不相交集合，b图为合并后Father(b):=Father(g)
（2） 判断两个元素是否属于同一集合（Find_Set(x)）
本操作可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。
3、 优化
（1） Find_Set(x)时，路径压缩
寻找祖先时，我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度。为了避免这种情况，我们需对路径进行压缩，即当我们经过”递推”找到祖先节点后，”回溯”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示。可见，路径压缩方便了以后的查找。
（2） Union(x,y)时，按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。
4、 编程实现
1 int father[MAX]; /* father[x]表示x的父节点*/ 2 3 int rank[MAX]; /*rank[x]表示x的秩*/ 4 5 6 7 void Make_Set(int x) 8 9 { 10 11 father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化 12 13 rank[x] = 0; //根据实际情况初始化秩也有所变化 14 15 } 16 17 /* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/ 18 19 int Find_Set(int x) 20 21 { 22 23 if (x != father[x]) 24 25 { 26 27 father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华 28 29 } 30 31 return father[x]; 32 33 } 34 35 /* 36 37 按秩合并x,y所在的集合 38 39 下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化 40 41 但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。 42 43 */ 44 45 void Union(int x, int y) 46 47 { 48 49 x = Find_Set(x); 50 51 y = Find_Set(y); 52 53 if (x == y) return; 54 55 if (rank[x] > rank[y]) 56 57 { 58 59 father[y] = x; 60 61 } 62 63 else 64 65 { 66 67 if (rank[x] == rank[y]) 68 69 { 70 71 rank[y]++; 72 73 } 74 75 father[x] = y; 76 77 } 78 79 }
5、 复杂度分析
空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料（3）。
6、 应用
并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有：求无向图的连通分量个数，最近公共祖先（LCA），带限制的作业排序，实现Kruskar算法求最小生成树等。
7、 参考资料
（1） 并查集：http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86
（2） 博文《并查集详解》：http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/
（3） Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets, pp. 498–524.
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