二叉搜索树

1、什么是二叉搜索树

       二叉搜索树(Binary Search Tree)是一棵有序的二叉树，所以我们也可以称它为二叉排序树（不知道二叉树的童鞋，先看看二叉树：传送门）。具有以下性质的二叉树我们称之为二叉搜索树：若它的左子树不为空，那么左子树上的所有值均小于它的根节点；若它的右子树不为空，那么右子树上所有值均大于它的根节点。它的左子树和右子树分别也为二叉搜索树。

2、二叉搜索树的结构

      二叉搜索树能够高效的进行一下操作：①插入一个数值②查询是否包含某个数值③删除某个数值

     根据实现的不同，还可以实现其他各种操作，这是一种使用性很高的数据结构。我们来看一个例子：

        这就是二叉搜索树的存储结构，所有的节点，都满足左子树上的比自己小，而右子树上的所有节点比自己大。二叉搜索树因为其有序性，所以它能够高效的管理数的集合 

(1)查询

       我们查找是否存在17：

        <1>根节点是7，因为小于17，所以去右子树查找

        <2>走到节点12，还是小于17，所以继续往右子树找

        <3> 走到节点17，此时找到17。

(2)插入

       我们使用查找的方式进行插入，以数字6为例，如图所示：

(3)删除

       删除操作相对之前的其他两种操作，就略显复杂一些。一般来说我们可以分为三种情况：

       <1>需要删除的节点没有左儿子，那么就把右儿子提上去

       <2>需要删除的节点的左儿子没有右儿子，那么就把左儿子提上去

       <3>不满足上述的两种情况的话，就把左子树中最大的节点放到要删除的节点上。

     

3、二叉搜索树的复杂度

      无论我们执行哪一个操作，其所花的时间都和树的高度成正比。我们不难得知，二叉搜索树的平均复杂度为O(log n)。

4、二叉搜索树的实现

       通过上述的了解，我们大致已经知道二叉搜索树的工作原理。所以现在我们就来简单的实现二叉搜索树基本的增删查的功能，代码如下：

[cpp] view plaincopyprint?
  1. //表示节点的结构体  
  2. struct node{  
  3.     int val;  
  4.     node *lch, *rch;  
  5. };  
  6. //插入整数x  
  7. node *insert(node *p, int x){  
  8.     if(p == NULL){  
  9.         node *newNode = new node;  
  10.         newNode->val = x;  
  11.         newNode->lch = newNode->rch = NULL;  
  12.         p = newNode;  
  13.     }else{  
  14.         if(x < p->val) p->lch = insert(p->lch, x);  
  15.         else p->rch = insert(p->rch, x);  
  16.     }  
  17.     return p;  
  18. }  
  19. //查找整数x  
  20. bool find(node *p, int x){  
  21.     if(p == NULL) return false;  
  22.     else if(p->val == x) return true;  
  23.     else if(p->val > x) return find(p->lch, x);  
  24.     else return find(p->rch, x);  
  25. }  
  26. //删除整数x  
  27. node *remove(node *p, int x){  
  28.     if(p == NULL) return NULL;  
  29.     else if(x < p->val) p->lch = remove(p->lch, x);  
  30.     else if(x > p->val) p->rch = remove(p->rch, x);  
  31.     //情况<1>  
  32.     else if(p->lch == NULL){  
  33.         node *q = p->rch;  
  34.         delete p;  
  35.         return q;  
  36.     }  
  37.     //情况<2>  
  38.     else if(p->lch->rch == NULL){  
  39.         node *q = p->lch;  
  40.         q->rch = p->rch;  
  41.         delete p;  
  42.         return q;  
  43.     }  
  44.     //情况<3>  
  45.     else {  
  46.         node *q;  
  47.         for(q = p->lch; q->rch->rch != NULL; q = q->rch);  
  48.         node *r = q->rch;  
  49.         q->rch = r->lch;  
  50.         r->lch = p->lch;  
  51.         r->rch = p->rch;  
  52.         delete p;  
  53.         return r;  
  54.     }  
  55.     return p;  
  56. }  
//表示节点的结构体
struct node{
    int val;
    node *lch, *rch;
};
//插入整数x
node *insert(node *p, int x){
    if(p == NULL){
        node *newNode = new node;
        newNode->val = x;
        newNode->lch = newNode->rch = NULL;
        p = newNode;
    }else{
        if(x < p->val) p->lch = insert(p->lch, x);
        else p->rch = insert(p->rch, x);
    }
    return p;
}
//查找整数x
bool find(node *p, int x){
    if(p == NULL) return false;
    else if(p->val == x) return true;
    else if(p->val > x) return find(p->lch, x);
    else return find(p->rch, x);
}
//删除整数x
node *remove(node *p, int x){
    if(p == NULL) return NULL;
    else if(x < p->val) p->lch = remove(p->lch, x);
    else if(x > p->val) p->rch = remove(p->rch, x);
    //情况<1>
    else if(p->lch == NULL){
        node *q = p->rch;
        delete p;
        return q;
    }
    //情况<2>
    else if(p->lch->rch == NULL){
        node *q = p->lch;
        q->rch = p->rch;
        delete p;
        return q;
    }
    //情况<3>
    else {
        node *q;
        for(q = p->lch; q->rch->rch != NULL; q = q->rch);
        node *r = q->rch;
        q->rch = r->lch;
        r->lch = p->lch;
        r->rch = p->rch;
        delete p;
        return r;
    }
    return p;
}
posted @ 2015-11-30 21:09  小松鼠。  阅读(208)  评论(0)  编辑  收藏  举报