Hash散列表

定义

散列是一种数据处理方法, 通过 散列函数 将原数据生成为一种更易于存储的数据。使用散列表可以提高比较数据的效率。

散列函数: 将原数据传给它并进行处理, 处理完成后返回。

冲突: 当两个不同的数据经过处理后产生了相同的散列函数值, 这是称散列函数发生了冲突。

理想情况下散列函数是双射 (字符串和整数一一对应), 但显然无法实现。
最低要求: 字符串确定后, 能唯一确定它的哈希值。

构造方法:

$hash(s)=(s_1\times see{d}^{|s|-1}+s_2\times see{d}^{|s|-2}+...+s_{|s|}\times see{d}^0)$,其中seed和mod是常数, mod是较大的质数。

计算子串的hash值

先计算出前缀的hash值：
$has{h}_i=hash(pre(s,i))=(s_1\times see{d}^{i-1}+s_2\times see{d}^{i-2}...+s_i\times see{d}^0)$

对于子串 $s_{l,r}$ , 其hash值为 $has{h}_r-has{h}_l\times see{d}^{r-l}$

例题: POJ3461

$clickhere$

简要题意: 查找某个子串在字符串中出现了多少次。

hash模板题, 需要注意为了方便查询子串, hash值应倒着计算

详情见代码。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll; //ull自然溢出取模
const int maxn=1e6+10,base=31;
ll hashh[maxn],xp[maxn];
char a[maxn],b[maxn];
int main(){
	int t; scanf("%d",&t);
	xp[0]=1;
	for(int i=1;i<=maxn;i++)
		xp[i]=xp[i-1]*base;
	while(t--){
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b)); //记得数组清空
		scanf("%s%s",&a,&b);
		int l=strlen(a),n=strlen(b);
		ll sub=0; int ans=0; hashh[n]=0;
		for(int i=l;i>=0;i--)
			sub=sub*base+a[i];
		for(int i=n-1;i>=0;i--)
			hashh[i]=hashh[i+1]*base+b[i];
		for(int i=0;i<=n-l;i++)
			if(sub==hashh[i]-hashh[i+l]*xp[l]) ans++;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

为方便实现我们还可以用 unordered_set 或 unordered_map存储链式哈希。

例题: 调皮的小biu

题目描述

小 $biu$ 的期中考试刚刚结束，调皮的小 $biu$ 不喜欢学习，所以他考试中抄袭了小 $piu$ 的试卷。
考试过程中一共有 $n$ 道题目，每道题目的标准答案为区间 $[1,5]$ 中的一个正整数。
现在有小 $biu$ 和小 $piu$ 的答案序列为 $a$ 和 $b$ , 现在老师想知道两个答案序列最长相等的连续子串的长度是多少。

输入格式

第 $1$ 行: 一个正整数 $n$ 表示题目个数;
第 $2$ 行: $n$ 个正整数, 第 $i$ 个数表示 $a_i$;
第 $3$ 行: $n$ 个正整数, 第 $i$ 个数表示 $b_i$;

输出格式

输出一个正整数表示两个序列的最长相等子串的长度。

输入样例

10
1 1 2 1 2 1 2 1 1 5
3 3 2 3 1 2 1 1 3 4

输出样例

4

思路

用hash预处理再二分答案, 应用了unordered_set.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int mx=1e5+5;
int a[mx],b[mx],n;
ull h1[mx],h2[mx],p1[mx],p2[mx];
unordered_set<ull>st;
bool check(int x){
	st.clear();
	int l,r;
	for(int i=1;i+x-1<=n;i++){
		l=i,r=i+x-1;
		ull tmp=h1[r]-h1[l-1]*p1[r-l+1];
		st.insert(tmp);
	}
	for(int i=1;i+x-1<=n;i++){
		l=i,r=i+x-1;
		ull tmp=h2[r]-h2[l-1]*p2[r-l+1];
		if(st.find(tmp)!=st.end()) return true;
	}
	return false;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	p1[0]=1; p2[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		h1[i]=h1[i-1]*1331+a[i];
		p1[i]=p1[i-1]*1331;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>b[i];
		h2[i]=h2[i-1]*1331+b[i];
		p2[i]=p2[i-1]*1331;
	}
	int l=1,r=n,mid;
	while(l<=r){
		mid=l+r>>1;
		if(check(mid)) l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<r;
	return 0;
}