关于网络流最小割的一些小知识

1.输出任意一种最小割的方案：

在运行完网络流算法之后，在残量网络上，s和t之间不连通了
进行一边dfs/bfs，求出从s出发能到达的点集S，和不能到达的点集T
我们割掉了一组边，把原图划分成了S和T两个点集
所有从S跨越到T的满流边构成了一个最小割方案

2.判断一条边是否满流：

运行一次最大流算法，得到一个残量网络
取残量网络上的一条满流边(u, v)，判断这条边是否一定满流
对残量网络运行Tarjan算法，求出所有SCC
当u和v不属于同一个SCC的时候，这条边一定满流
否则，我们可以在SCC中找到一个包含这条边的反向边的环，沿着环增广一次，仍然不破坏流量平衡，但是这条边已经不满流了

3.判断某一条边是否可能为最小割中的一条

所有一定满流的边都可能为最小割

4.判断某条边是否一定出现在最小割中

 

首先还是对残量网络求SCC
考虑一条满流边(u, v)，判断她是否一定出现在最小割中
当u和s属于同一个SCC，并且v和t属于同一个SCC的时候，这条边一定出现在最小割中

5.输出在最小割的最小边数

设总边数为m，所有的边权都乘m+1然后再+1

用这个新的图跑最大流然后结果/(m+1)就是最小割

结果%(m+1)就是最小边数