图论算法之最短路径

图论算法之最短路径

是什么？

图（graph）是数据结构和算法学中最强大的框架之一（或许没有之一）。图几乎可以用来表现所有类型的结构或系统，从交通网络到通信网络，从下棋游戏到最优流程，从任务分配到人际交互网络，图都有广阔的用武之地，而最短路径求解问题是图论的研究的重点之一。最短路径表示用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

解法种类？

（1）Dijkstra算法

（2）SPFA算法\Bellman-Ford算法

（3）Floyd算法\Floyd-Warshall算法 

（4）Johnson算法

（5）A*算法

我们这里考虑的是 Floyd算法\Floyd-Warshall算法

解法的思路和代码形成

Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。通常可以在任何图中使用，包括无向图、有向图、带权和带负权边的图。

思路：

单独一条边的路径也不一定是最佳路径。 从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权的和，(如果两点之间没有边相连, 则为无穷大）。 从第一个顶点开始，依次将每个顶点作为媒介 k，然后对于每一对顶点 u 和 v ，查看其是否存在一条经过 k 的，距离比已知路径更短的路径，如果存在则更新它。

即：dist[k](i,j) = min(dist[k-1](i,j),dist[k-1](i,k)+dist[k-1](k,j)  #dist[k](i,j) 为媒介结点为k时从节点 i 到节点 j 的最短距离。

以上述可以得出如下视图：

 

 

n=int(input()) #表示输入节点的个数
a=[[0]*n for i in range(n)] #a列表的作用是用来进行存储两个节点之间的最短距离(即a[i][j]表示为i节点到j节点的最短路径)
b=[] #先临时存储用户通过键盘输入的数
for i in range(0,n):
    for j in input().split(' '):
        b.append(eval(j))
        
for i in range(0,n):
    for j in range(0,n):
        a[i][j]=b[i*n+j]
        
for k in range(0,n):  #表示为从第一个结点开始，依次将每个节点作为媒介k，防止遗漏结果。
    for i in range(0,n): #将每个节点都与其他的节点进行一次最短距离的比较
        for j in range(0,n):
            if a[i][j]>a[i][k]+a[k][j]: #若a[i][j]>a[i][k]+a[k][j]，则说明i到j的可以通过媒介进行缩减，之后将i到j的最短距离进行更新
                a[i][j]=a[i][k]+a[k][j]
k=0
for i in range(0,n): #打印出每两个节点之间的最短距离
    for j in range(0,n):
        if k%n==0 and k!=0:
            print()
        print(a[i][j],end=' ')
        k+=1

 总结：

根据该最短路径的求解方法，我们可以将求解最短路径问题进行延申。

例如：①求解城市建造问题(怎样花费最小)

　　　②旅行商问题等(给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解访问每一座城市一次并回到起始城市的最短回路。)

　　　　可以先利用Floyd 算法求解最短路径。先求解第一个城市与其他城市的距离相加，然后在求解第二个城市到每个城市的距离和，以此类推。得到最大的值，根据最大值来得到将哪个城市作为主城市。