GF(p)上的ELGamal型椭圆曲线密码详解（Java实现）

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椭圆曲线密码

　　椭圆曲线密码（Elliptic Curve Cryptosystem），简称ECC，是Neal Koblitz和Victor Miller于1985年提出的。

　　研究发现，有限域上的椭圆曲线上的一些点构成交换群，而且离散对数问题是难解的。于是在此群上定义ELGamal密码，并称为椭圆曲线密码。

　　目前，椭圆曲线密码已成为除RSA密码之外呼声最高的公钥密码之一。它密钥短、签名短、软件实现规模小、硬件实现电路省电。普遍认为，160位长的椭圆曲线密码的安全性相当于1024位的RSA密码，而且运算速度也较快。

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GF(p)上的椭圆曲线

　　设p是大于3的素数，且4a³+27b²≠0(mod p)，称曲线

y²=x³+ax+b（a,b∈GF(p)）

为GF(p)上的椭圆曲线。

　　由椭圆曲线方程可得到一同余方程：

y²=x³+ax+b(mod p)（a,b∈GF(p)）

其解为一个二元组(x,y)，其中x,y∈GF(p)，表示椭圆曲线上的一个点，称为该椭圆曲线上的解点。

无穷点O

　　定义一个点O(∞,∞)表示无穷点，作为0元素。

两解点相加

　　设P(x₁,y₁)和Q(x₂,y₂)是解点，R(x₃,y₃)=P(x₁,y₁)+Q(x₂,y₂)：

　　1.若P为无穷点，即P=O，此时R=P+Q=Q；若Q为无穷点，即Q=O，此时R=P+Q=P；若P和Q都为无穷点，即P=Q=O，则R=P+Q=O。

　　2.若x₁=x₂且y₁=y₂，即P=Q，此时R=P+Q=2P，其中

 

　　3.若x1=x2而y1=-y2，此时称Q点为P点的逆，记为P=-Q，且R=P+Q=O。

　　4.除上述特殊情况之外的一般情况，即P≠±Q时，R=P+Q，其中

 

　　集合E={所有的解点,无穷点O}和加法运算构成加法交换群。设G(G≠O，即G为一个解点)为一个加法群的生成元，则使得nG=G+G+...+G=O的倍数n为该加法群的阶。加法群的阶整除集合E的阶，即n | |E|。

求椭圆曲线的所有解点

　　当p较小，即GF(p)较小时，可以利用穷举的方法根据同余方程y²=x³+ax+b(mod p)（a,b∈GF(p)）求出所有解点。

　　具体方法为：求出x取0~p-1，x³+ax+b(mod p)的结果是否为模p的二次剩余。如果是，则一个x值可得到两个对应的y值，也就得到互逆的两个解点。

　　e.m.取p=11，椭圆曲线y²=x³+x+6

　　       由此表得到所有的解点：(2,4)、(2,7)、(3,5)、(3,6)、(5,2)、(5,9)、(7,2)、(7,9)、(8,3)、(8,8)、(10,2)、(10,9)，再加上无穷点O共13个点的集合E加上加法运算就构成一个加法交换群。

　　       因为集合E的阶|E|=13为素数，所以该加法群的阶为13。

　　       取G=(2,7)为生成元，

G=(2,7)，2G=(5,2)，

3G=(8,3)，4G=(10,2)，

5G=(3,6)，6G=(7,9)，

7G=(7,2)，8G=(3,5)，

9G=(10,9)，10G=(8,8)，

11G=(5,9)，12G=(2,4)，

　　       最终得到13G=O，所以加法群的阶为13。

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ELGamal型椭圆曲线密码

　　1.选择一个素数p，从而确定有限域GF(p)，将p公开。

　　2.选择元素a,b∈GF(p)，从而确定一条GF(p)上的椭圆曲线，确定加法交换群E，将a和b公开。

　　3.选择一个大素数n，并确定一个阶为n的基点G(x,y)，将n和G(x,y)公开。

　　4.余因子h=|E|/n，将h公开。

　　5.随机选择一个整数d(0<d<n)作为私钥保密。

　　6.定义Q=dG作为公钥公开。

加密

　　1.随机选择一个整数k(0<k<n)。

　　2.计算X₁=kG。

　　3.计算X₂=kQ，若x₂=∞，则回到第1步。

　　4.加密：C=Mx₂(mod n)。

　　5.将(X₁,C)作为密文发送。

解密

　　1.用私钥d求出X₂=dX₁。

　　2.解密：M=Cx₂^-1(mod n)。

推荐椭圆曲线

　　NIST向社会推荐了5条素域GF(p)上随机选取的椭圆曲线：

P-192

　　p=2¹⁹²-2⁶⁴-1

　　a=-3

　　b=64210519 E59C80E7 0FA7E9AB 72243049 FEB8DEEC C146B9B1

　　x=188DA80E B03090F6 7CBf20EB 43A18800 F4FF0AFD 82FF1012

　　y=07192B95 FFC8DA78 631011ED 6B24CDD5 73F977A1 1E794811

　　n=FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF 99DEF836 146BC9B1 B4D22831

　　h=1

P-224

　　p=2²²⁴-2⁹⁶-1

　　a=-3

　　b=B4050A85 0C04B3AB F5413256 5044B0B7 D7BFD8BA 270B3943 2355FFB4

　　x=B70E0CBD 6BB4BF7F 321390B9 4A03C1D3 56C21122 343280D6 115C1D21

　　y=BD376388 B5F723FB 4C22DFE6 CD4375A0 5A074764 44D58199 85007E34

　　n=FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFF16A2 E0B8F03E 13DD2945 5C5C2A3D

　　h=1

P-256

　　p=2²⁵⁶-2²²⁴+2¹⁹²+2⁹⁶-1

　　a=-3

　　b=5AC635D8 AA3A93E7 B3EBBD55 769886BC 651D06B0 CC53B0F6 3BCE3C3E 27D2604B

　　x=6B17D1F2 E12C4247 F8BCE6E5 63A440F2 77037D81 2DEB33A0 F4A13945 D898C296

　　y=4FE342E2 FE1A7F9B 8EE7EB4A 7C0F9E16 2BCE3357 6B315ECE CBB64068 37BF51F5

　　n=FFFFFFFF 00000000 FFFFFFFF FFFFFFFF BCE6FAAD A7179E84 F3B9CAC2 FC632551

　　h=1

P-384

　　p=2³⁸⁴-2¹²⁸-2⁹⁶+2³²-1

　　a=-3

　　b=B3312FA7 E23EE7E4 988E056B E3F82D19 181D9C6E FE814112 0314088F 5013875A C656398D 8A2ED19D 2A85C8ED D3EC2AEF

　　x=AA87CA22 BE8B0537 8EB1C71E F320AD74 6E1D3B62 8BA79B98 59F741E0 82542A38 5502F25D BF55296C 3A545E38 72760AB7

　　y=3617DE4A 96262C6F 5D9E98BF 9292DC29 F8F41DBD 289A147C E9DA3113 B5F0B8C0 0A60B1CE 1D7E819D 7A431D7C 90EA0E5F

　　n=FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF C7634D81 F4372DDF 581A0DB2 48B0A77A ECEC196A CCC52973

　　h=1

P-521

　　p=2⁵²¹-1

　　a=-3

　　b=00000051 953EB961 8E1C9A1F 929A21A0 B68540EE A2DA725B 99B315F3 B8B48991 8EF109E1 56193951 EC7E937B 1652C0BD 3BB1BF07 3573DF88 3D2C34F1 EF451FD4 6B503F00

　　x=000000C6 858E06B7 0404E9CD 9E3ECB66 2395B442 9C648139 053FB521 F828AF60 6B4D3DBA A14B5E77 EFE75928 FE1DC127 A2FFA8DE 3348B3C1 856A429B F97E7E31 C2E5BD66

　　y=00000118 39296A78 9A3BC004 5C8A5FB4 2C7D1BD9 98F54449 579B4468 17AFBD17 273E662C 97EE7299 5EF42640 C550B901 3FAD0761 353C7086 A272C240 88BE9476 9FD16650

　　n=000001FF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF 51868783 BF2F966B 7FCC0148 F709A5D0 3BB5C9B8 899C47AE BB6FB71E 91386409

　　h=1

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椭圆曲线密码的安全性

　　椭圆曲线密码的安全性建立在椭圆曲线离散对数问题的困难性之上。当素数p和n足够大时椭圆曲线密码是安全的。这就要求椭圆曲线解点群的阶要有大素数因子的根本原因，在理想情况下群的阶本身就是一个大素数。

　　为了确保椭圆曲线密码的安全，应当避免使用弱的椭圆曲线。所谓弱的椭圆曲线主要指超奇异椭圆曲线和反常椭圆曲线。

　　椭圆曲线密码的密钥越长，自然越安全，但是技术实现也就越困难，效率也越低。一般认为，在目前的技术水平下采用190~256位的椭圆曲线，其安全性就足够了。

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Java实现

解点类

import java.math.BigInteger;

public class ECPoint {
    BigInteger x;
    BigInteger y;

    public ECPoint() {
        x = null;
        y = null;
    }

    public ECPoint(BigInteger x, BigInteger y) {
        this.x = x;
        this.y = y;
    }

    @Override
    public String toString() {
        if (isO()) 
            return "O";
        return "(" + x.toString(16) + ", " + y.toString(16) + ")";
    }

    boolean isO() {
        if (x == null && y == null) 
            return true;
        return false;
    }
}

两解点相加

/**
 * 两解点相加
 * @param p1
 * @param p2
 * @return
 */
ECPoint add(ECPoint p1, ECPoint p2) {
    if (p1.isO()) return p2;
    if (p2.isO()) return p1;
    ECPoint p3 = new ECPoint();
    BigInteger lambda;
    if (p1.x.compareTo(p2.x) == 0) {
        if (p1.y.compareTo(p2.y) == 0) {
            lambda = new BigInteger("3").multiply(p1.x.pow(2)).add(a).multiply(new BigInteger("2").multiply(p1.y).modPow(new BigInteger("-1"), p)).mod(p);
            p3.x = lambda.pow(2).subtract(new BigInteger("2").multiply(p1.x)).mod(p);
            p3.y = lambda.multiply(p1.x.subtract(p3.x)).subtract(p1.y).mod(p);
            return p3;
        }
        if (p1.y.compareTo(p.subtract(p2.y)) == 0) 
            return p3;
    }
    lambda = p2.y.subtract(p1.y).multiply(p2.x.subtract(p1.x).modPow(new BigInteger("-1"), p)).mod(p);
    p3.x = lambda.pow(2).subtract(p1.x).subtract(p2.x).mod(p);
    p3.y = lambda.multiply(p1.x.subtract(p3.x)).subtract(p1.y).mod(p);
    return p3;
}

倍乘

/**
 * 倍乘
 * @param p
 * @param n
 * @return  np
 */
ECPoint multiply(ECPoint p, BigInteger n) {
    ECPoint q = add(p, new ECPoint());
    ECPoint r = new ECPoint();
    do {
        if (n.and(new BigInteger("1")).intValue() == 1) 
            r = add(r, q);
        q = add(q, q);
        n = n.shiftRight(1);
    } while (n.intValue() != 0);
    return r;
}

求所有解点

/**
 * 求所有解点
 * @return
 */
List<ECPoint> solutionPoints() {
    List<ECPoint> r = new ArrayList<ECPoint>();
    List<BigInteger> l = new ArrayList<BigInteger>();
    for (BigInteger y = new BigInteger("1"); y.compareTo(p.divide(new BigInteger("2"))) != 1; y = y.add(new BigInteger("1"))) 
        l.add(y.modPow(new BigInteger("2"), p));
    for (BigInteger x = new BigInteger("0"); x.compareTo(p) == -1; x = x.add(new BigInteger("1"))) {
        BigInteger t = x.pow(3).add(a.multiply(x)).add(b).mod(p);
        if (isExist(t, l) != -1) {
            BigInteger y = new BigInteger(isExist(t, l) + "");
            r.add(new ECPoint(x, y));
            r.add(new ECPoint(x, p.subtract(y)));
        }
    }
    r.add(new ECPoint());
    return r;
}

static int isExist(BigInteger b, List<BigInteger> l) {
    for (int i = 0; i < l.size(); i++) 
        if (l.get(i).compareTo(b) == 0) return (i + 1);
    return -1;
}

求阶

/**
 * 求阶
 * @param p  生成元
 * @return   p对应的阶
 */
BigInteger o(ECPoint p) {
    BigInteger r = new BigInteger("1");
    while (! p.isO()) {
        r = r.add(new BigInteger("1"));
        p = multiply(p, r);
    }
    return r;
}

加密

/**
 * 加密
 * @param M
 * @return
 */
BigInteger[] encrypt(BigInteger M) {
    BigInteger k;
    ECPoint X1, X2;
    do {
        k = new BigInteger(n.bitLength(), new Random());
    } while ((X2 = ec.multiply(Q, k)).x == null);
    X1 = ec.multiply(G, k);
    BigInteger[] C = new BigInteger[3];
    C[0] = X1.x;
    C[1] = X1.y;
    C[2] = M.multiply(X2.x).mod(n);
    return C;
}

解密

/**
 * 解密
 * @param C
 * @return
 */
BigInteger decrypt(BigInteger[] C) {
    ECPoint X1 = new ECPoint(C[0], C[1]);
    ECPoint X2 = ec.multiply(X1, d);
    BigInteger M = C[2].multiply(X2.x.modPow(new BigInteger("-1"), n)).mod(n);
    return M;
}

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测试

测试数据

　　M=1234567890abcdef

　　k=abcdef

测试结果

P-192

P-224

 

P-256

P-384

P-521

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参考文献

　　张焕国，唐明.密码学引论（第三版）.武汉大学出版社，2015年