[学习笔记]虚树

虚树

虚树可以应用于树形 \(DP\) 的加速。当题目规定查询点集的大小和 \(\le 10^5\) 时可以用虚树解决。

虚树的原理是在原树上重新建一棵树，使得树上只包含要询问的点和它们的 \(lca\)。

普通树形 \(DP\) 的时间复杂度为 \(O(n^2)\)。最坏形成一棵二叉树，点集大小为 \(n\)，总点数为 \(nlogn\) 个，时间复杂度为 \(O(nlog(n))\)。

建树

我们先对原树进行 \(dfs\)，预处理出 \(dfs\) 序，和倍增求 \(lca\) 所需的深度和父亲。

void dfs(int x,int fa){
	dep[x]=dep[fa]+1;
	dfn[x]=++top;
	f[x][0]=fa;
	for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){
		int t=to[i];
		if(t!=fa){
			an[t]=min(an[x],wa[i]);
			dfs(t,x);
		}
	}
}

建树时先对询问点的 \(dfs\) 序排序，这样就能保证栈中 \(dfs\) 序单调递增。
先把 \(1\) 号节点入栈，注意要在入栈时初始化。

void ins(){
	sort(h+1,h+k+1,cmp);
	sta[tom=1]=1;
	too[1].clear();
	ans[1]=0;
	v[1]=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		if(h[i]==1) continue;
		int lc=lca(h[i],sta[tom]);
		if(lc!=sta[tom]){//当前元素不在栈中元素的链上。
			while(dfn[lc]<dfn[sta[tom-1]]){
				too[sta[tom-1]].push_back(sta[tom]);
				tom--;
			}//弹出多余的元素并建边，保留lca下的第一个元素。
			if(dfn[lc]>dfn[sta[tom-1]]){
				too[lc].clear();
				ans[lc]=0;
				v[lc]=0;
				too[lc].push_back(sta[tom]);//加边
				sta[tom]=lc;//将lca入栈。
			}//lca不在栈中（如果在栈中lca就是栈中最后一个元素）。
			else
				too[lc].push_back(sta[tom--]);
		}
        //如果lca为栈顶元素，那么新加入点与栈中元素在一条链上，直接入栈。
		sta[++tom]=h[i];//入栈当前元素
		too[h[i]].clear();
		ans[h[i]]=0;
		v[h[i]]=0;
	}
	for(int i=1;i<tom;i++)
		too[sta[i]].push_back(sta[i+1]);
	ans[1]=0;//对栈中剩余元素加边。
	v[1]=0;
}

剩余部分就是正常的树形 \(DP\) 啦。

例题

P2495 [SDOI2011] 消耗战

code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=2.5e5+10;
int n,top,dfn[N],an[N],m,h[N],k,f[N][25],dep[N],sta[N],tom;
long long ans[N];
int tot,hea[N],nex[N<<1],to[N<<1],wa[N<<1];
bool v[N];
vector<int>too[N];
void add(int x,int y,int z){
	to[++tot]=y;
	wa[tot]=z;
	nex[tot]=hea[x];
	hea[x]=tot;
}
void dfs(int x,int fa){
	dep[x]=dep[fa]+1;
	dfn[x]=++top;
	f[x][0]=fa;
	for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){
		int t=to[i];
		if(t!=fa){
			an[t]=min(an[x],wa[i]);
			dfs(t,x);
		}
	}
}
int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=22;i>=0;i--){
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
			x=f[x][i];
		}
	}
	if(x==y) return x;
	for(int i=22;i>=0;i--){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}
bool cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
void ins(){
	sort(h+1,h+k+1,cmp);
	sta[tom=1]=1;
	too[1].clear();
	ans[1]=0;
	v[1]=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		// cout<<h[i]<<"@";
		if(h[i]==1) continue;
		int lc=lca(h[i],sta[tom]);
		// cout<<h[i]<<" "<<sta[tom]<<" "<<lc<<"!!!!!\n";
		if(lc!=sta[tom]){
			while(dfn[lc]<dfn[sta[tom-1]]){
				too[sta[tom-1]].push_back(sta[tom]);
				// cout<<sta[tom]<<"!";
				tom--;
				// cout<<"!!";
			}
			if(dfn[lc]>dfn[sta[tom-1]]){
				too[lc].clear();
				ans[lc]=0;
				v[lc]=0;
				too[lc].push_back(sta[tom]);
				// cout<<sta[tom]<<"!";
				// cout<<sta[tom]<<"!!#";
				sta[tom]=lc;
				// cout<<"##";
			}
			else{
				too[lc].push_back(sta[tom--]);
			}
		}
		sta[++tom]=h[i];
		too[h[i]].clear();
		ans[h[i]]=0;
		v[h[i]]=0;
	}
	// for(int i=1;i<=tom;i++) cout<<sta[i]<<"!";
	for(int i=1;i<tom;i++){
		too[sta[i]].push_back(sta[i+1]);
	}
	ans[1]=0;
	v[1]=0;
}
void dp(int x){
	for(int t:too[x]){
		dp(t);
		if(v[t]){
			ans[x]=ans[x]+an[t];
		}
		else ans[x]+=min(ans[t],1ll*an[t]);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	an[1]=1e9;
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=22;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
		}
	}
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d",&k);
		for(int j=1;j<=k;j++){
			scanf("%d",&h[j]);
		}
		ins();
		for(int j=1;j<=k;j++){
			v[h[j]]=1;
		}
		// for(int j=1;j<=n;j++){
		// 	if(too[j].size())
		// 	cout<<j<<" ";
		// 	for(int t:too[j]){
		// 		cout<<t<<" ";
		// 	}
		// 	if(too[j].size())
		// 	cout<<endl;
		// }
		dp(1);
		printf("%lld\n",ans[1]);
	}
	return 0;
}

CF613D Kingdom and its Cities

code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,q,k,h[N],dfn[N],top,f[N][20],dep[N],sta[N],tom,ans,g[N];
bool v[N];
int tot,hea[N],nex[N<<1],to[N<<1];
vector<int>too[N];
void add(int x,int y){
	to[++tot]=y;
	nex[tot]=hea[x];
	hea[x]=tot;
}
void dfs(int x,int fa){
	f[x][0]=fa;
	dep[x]=dep[fa]+1;
	dfn[x]=++top;
	for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){
		int t=to[i];
		if(t!=fa){
			dfs(t,x);
		}
	}
}
int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(int i=17;i>=0;i--){
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
			x=f[x][i];
		}
	}
	if(x==y) return x;
	for(int i=17;i>=0;i--){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}

bool cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
void ins(){
	sort(h+1,h+k+1,cmp);
	sta[tom=1]=1;
	v[1]=0;
	g[1]=0;
	too[1].clear();
	for(int i=1;i<=k;i++){
		if(h[i]==1) continue;
		int lc=lca(h[i],sta[tom]);
		if(lc!=sta[tom]){
			while(dfn[sta[tom-1]]>dfn[lc]){
				too[sta[tom-1]].push_back(sta[tom]);
				tom--;
			}
			if(lc!=sta[tom-1]){
				v[lc]=0;
				g[lc]=0;
				too[lc].clear();
				too[lc].push_back(sta[tom]);
				sta[tom]=lc;
			}
			else{
				too[sta[tom-1]].push_back(sta[tom]);
				tom--;
			}
		}
		sta[++tom]=h[i];
		v[h[i]]=0;
		g[h[i]]=0;
		too[h[i]].clear();
	}
	for(int i=1;i<tom;i++){
		too[sta[i]].push_back(sta[i+1]);
	}
}
void dp(int x){
	int num=0;
	for(int t:too[x]){
		dp(t);
		// if(x==15) cout<<t<<"@$";
		g[x]+=g[t];
		if(g[t]!=0) num++;
		if(v[x]==1&&v[t]==1&&dep[t]==dep[x]+1){
			ans=-1;
		}
	}
	if(v[x]) num++;
	if(num>1&&ans!=-1){
		if(v[x]==1) ans+=g[x];
		else ans++;
		g[x]=0;
	}
	if(v[x]) g[x]++;
	// cout<<x<<" "<<ans[x]<<" "<<num<<" "<<g[x]<<"!!\n";
	// if(x==11) cout<<v[x]<<" "<<num<<"@#%";
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=17;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
		}
	}
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		scanf("%d",&k);
		for(int j=1;j<=k;j++){
			scanf("%d",&h[j]);
		}
		ins();
		for(int j=1;j<=k;j++){
			v[h[j]]=1;
		}
		ans=0;
		// for(int j=1;j<=n;j++){
		// 	if(too[j].size()) cout<<j<<"@";
		// 	for(int t:too[j]){
		// 		cout<<t<<" ";
		// 	}
		// 	if(too[j].size()) cout<<endl;
		// }
		dp(1);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}