[学习笔记]Dirichlet

Dirichlet学习笔记

Dirichlet前缀和

狄利克雷前缀和是求解形如

\[b_k=\sum\limits_{i|k}a_i \]

的式子

首先我们可以想到枚举 \(i\) ，再枚举 \(i\) 的倍数 \(j\) $$b_j=b_j+a_i$$

此时的时间复杂度为 \(n/1+n/2+n/3+...+n/1\) 。由于调和级数，时间复杂度为 \(O(nlogn)\)

进一步分析式子，我们可以发现一个较大的 \(b_k\) 可以分解为几个 \(b_{k的因子}\) 相加，例如 \(b_8=a_1+a_2+a_3+a_4+a_8\) ，\(b_4=a_1+a_2+a_3+a_4\) , 所以 \(b_8=b_4+a_8\)

而 \(8=2*4\) ，我们可以考虑枚举质数因子，和质数的系数来求解。

例如

for(int i=1;i<=tot;i++){
    for(int j=1;p[i]*j<=n;j++){
        a[p[i]*j] += a[j];
    }
}

\(p[i]\) 为枚举的质数，\(j\)为质数的系数，我们把 \(b\) 数组放到 \(a\) 数组中，节省空间更方便。

Dirichlet后缀和

后缀和和前缀和基本相同，只改变了赋值方向。

\[b_k=\sum\limits_{k|i}a_i \]

for(int i=1;i<=tot;i++){
    for(int j=n/p[i];j>=1;j--){
        a[j] += a[p[i]*j];
    }
}

倒Dirichlet前缀和

\[a_k=\sum\limits_{i|k}b_i \]

给出 \(a_k\) 求 \(b_i\)。我们需要从大到小枚举

for(int i=tot;i>=1;i--){
    for(int j=n/p[i];j>=1;j--){
        a[p[i]*j] -= a[j];
    }
}

倒Dirichlet后缀和

\[a_k=\sum\limits_{k|i}b_i \]

for(int i=tot;i>=1;i--){
    for(int j=1;p[i]*j<=n;j++){
        a[j] -= a[p[i]*j];
    }
}

Dirichlet卷积

我们有数论函数 \(h\) 满足

\[h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d}) \]

或者

\[h(n)=\sum\limits_{ij=n}f(i)g(i) \]

则 \(h\) 为 \(f\) 和 \(g\) 的的狄利克雷卷积，记作 \(h=f*g\)

通过第二种形式，我们可以发现狄利克雷卷积具有结合律和交换律

\[((f*g)*h)(n)=\sum\limits_{ijk=n}f(i)g(i)k(i)=(f*(g*h))(n) \]

此外若 \(f,g\) 为奇性函数，\(h\) 也是奇性函数。我们可以用这个性质判断某些函数是否为奇性函数。