[学习笔记]Dirichlet

合集 - 知识点(9)

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4.[学习笔记]Dirichlet2023-08-12

5.[学习笔记] 凸包2023-08-086.小技巧&模板2023-07-257.[学习笔记]扩展域并查集2023-10-308.状压枚举子集2023-10-319.[学习笔记]虚树2023-11-06

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Dirichlet学习笔记

Dirichlet前缀和

狄利克雷前缀和是求解形如

$$b_k=\sum _{i|k}{a}_i$$

的式子

首先我们可以想到枚举 $i$ ，再枚举 $i$ 的倍数 $j$ $$b_j=b_j+a_i$$

此时的时间复杂度为 $n/1+n/2+n/3+...+n/1$ 。由于调和级数，时间复杂度为 $O(nlogn)$

进一步分析式子，我们可以发现一个较大的 $b_k$ 可以分解为几个 $b_{k\mathrm{的}\mathrm{因}\mathrm{子}}$ 相加，例如 $b_8=a_1+a_2+a_3+a_4+a_8$ ，$b_4=a_1+a_2+a_3+a_4$ , 所以 $b_8=b_4+a_8$

而 $8=2\ast 4$ ，我们可以考虑枚举质数因子，和质数的系数来求解。

例如

for(int i=1;i<=tot;i++){
    for(int j=1;p[i]*j<=n;j++){
        a[p[i]*j] += a[j];
    }
}

$p[i]$ 为枚举的质数，$j$为质数的系数，我们把 $b$ 数组放到 $a$ 数组中，节省空间更方便。

Dirichlet后缀和

后缀和和前缀和基本相同，只改变了赋值方向。

$$b_k=\sum _{k|i}{a}_i$$

for(int i=1;i<=tot;i++){
    for(int j=n/p[i];j>=1;j--){
        a[j] += a[p[i]*j];
    }
}

倒Dirichlet前缀和

$$a_k=\sum _{i|k}{b}_i$$

给出 $a_k$ 求 $b_i$。我们需要从大到小枚举

for(int i=tot;i>=1;i--){
    for(int j=n/p[i];j>=1;j--){
        a[p[i]*j] -= a[j];
    }
}

倒Dirichlet后缀和

$$a_k=\sum _{k|i}{b}_i$$

for(int i=tot;i>=1;i--){
    for(int j=1;p[i]*j<=n;j++){
        a[j] -= a[p[i]*j];
    }
}

Dirichlet卷积

我们有数论函数 $h$ 满足

$$h(n)=\sum _{d|n}f(d)g({\displaystyle \frac{n}{d}})$$

或者

$$h(n)=\sum _{ij=n}f(i)g(i)$$

则 $h$ 为 $f$ 和 $g$ 的的狄利克雷卷积，记作 $h=f\ast g$

通过第二种形式，我们可以发现狄利克雷卷积具有结合律和交换律

$$((f\ast g)\ast h)(n)=\sum _{ijk=n}f(i)g(i)k(i)=(f\ast (g\ast h))(n)$$

此外若 $f,g$ 为奇性函数，$h$ 也是奇性函数。我们可以用这个性质判断某些函数是否为奇性函数。