[学习笔记] 凸包

凸包

由于 \(Andrew\) 算法较快，所以主要介绍 \(Andrew\) 的实现方式

我们把输入按照 \(x\) 为第一关键字，\(y\) 为第二关键字进行从小到大排序，保证了 \(1\) 和 \(n\) 两个端点把凸包分成了两个部分(称为凸壳)，从 \(1\) 遍历到 \(n\) 再从 \(n\) 遍历到 \(1\) ,把遍历到的点压入栈，使用叉积可以判断栈中点的相对位置，使栈中点只能向左偏离，这样就能找到凸包。

叉积

求凸包时用到了叉积，叉积有一个右手定则。
形象地说就是假设手在求叉积的面上（一条线和不在线上的一点确定一个平面，所以平面一定存在）手指指向栈最后一个点，大拇指向上为正，向下为负。
另外点在直线上时叉积为 \(0\)

P2742 [USACO5.1]【模板】二维凸包)

code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;
int stu[100010],tot;
bool v[100010];
double ans;
struct node{
    double x,y;
}a[100010];
bool cmp(node x,node y){
    if(x.x!=y.x) return x.x<y.x;
    return x.y<y.y; 
}
bool check(){
    double a1=a[stu[tot]].x-a[stu[tot-2]].x;
    double b1=a[stu[tot]].y-a[stu[tot-2]].y;
    double a2=a[stu[tot-1]].x-a[stu[tot-2]].x;
    double b2=a[stu[tot-1]].y-a[stu[tot-2]].y;
    double an=(a1*b2)-(a2*b1);
    if(an>=0) return 0;
    return 1;
}
double dis(int x,int y){
    return sqrt((a[x].x-a[y].x)*(a[x].x-a[y].x)+(a[x].y-a[y].y)*(a[x].y-a[y].y));
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    stu[++tot]=1;
    stu[++tot]=2;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        stu[++tot]=i;
        while(tot!=2&&!check()){
            stu[tot-1]=stu[tot];
            tot--;
        }
    }
    for(int i=2;i<=tot;i++){
        ans+=dis(stu[i],stu[i-1]);
        v[stu[i]]=1;
    }
    tot=0;
    stu[++tot]=n;
    stu[++tot]=n-1;
    for(int i=n-2;i>=1;i--){
        if(v[i]) continue;
        stu[++tot]=i;
        while(tot!=2&&!check()){
            stu[tot-1]=stu[tot];
            tot--;
        }
    }
    for(int i=2;i<=tot;i++){
        ans+=dis(stu[i],stu[i-1]);
    }
    printf("%.2lf",ans);
    return 0;
}