算法基础

大O表达式	描述	例
O(1)	常数级，表明算法的执行时间不随问题规模 n 的增大而增大； 另外，对于常数 c，有 O(c) = O(1)	普通语句，如 a = b+c
O(logn)	对数级，表明算法的执行时间随问题规模 n 的增大而呈对数增长； 对数的底数与增长的数量级无关（不同的底数相当于常数因子）， 因此在说明对数级时一般使用 logn 来表示。	二分查找
O(n)	线性级，表明算法的执行时间随问题规模 n 的增大而呈线性增长	单个for循环
O(nlogn)	线性对数级，表明算法的执行时间与问题规模 n 的关系为 nlogn	归并排序、快速排序
O(n^2)	平方级，表明算法的执行时间随问题规模 n 的增大而呈平方级增长	二层 for 循环、选择排序
O(n^3)	立方级，表明算法的执行时间随问题规模 n 的增大而呈立方级增长	三层 for 循环
O(2^n)	指数级，表明算法的执行时间随问题规模 n 的增大而呈指数增长	穷举查找

　　按照所消耗时间从小到大排序：O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n).

 

一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。

1、时间复杂度
（1）时间频度 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
（2）时间复杂度 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)

 

 2.空间复杂度

算法的空间复杂度用来描述算法在运行时临时占用存储空间的大小，记作 S(n) = O(f(n)) ，表示算法所占用的存储空间与问题规模 n 的关系，其分析计算方式也与时间复杂度类似。

对于一个算法，其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。当追求一个较好的时间复杂度时，可能会使得空间复杂度的性能变差，即占用更多的存储空间；相反，当追求更好的空间复杂度时，可能会使得时间复杂度变差，消耗更多的运行时间。在设计一个程序（尤其是大型程序）时，需要综合考虑算法的各项性能，以在二者之间寻求一个平衡点，达到最大收益。