二叉树

1 定义

　　二叉树（Binary Tree）是n（n >= 0）个结点的有限集合，该集合或者是空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

2 二叉树的特点

　（1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

　（2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。

   （3）即使树中只有一颗子树，也要区分是左子树还是右子树。下图中两颗树是不同的两颗二叉树。

   （4）二叉树具有五种基本形态：空二叉树、只有一个根结点、根结点只有左子树、根结点只有右子树、根结点既有左子树，又有右子树。

　　　　三个结点的树会有以下五种形态：

3 特殊二叉树

　　（1）斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树称为左斜树。所有的结点都只有右子树的二叉树称为右斜树。如上图2就是左斜树、图5就是右斜树。

　　（2）满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

 

 

 

　　（3）完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树，按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这颗二叉树就称为完全二叉树。

　　满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。

　　完全二叉树的特点：

　　　　（一） 叶子结点智能出现在最下两层

　　　　（二）最下层的叶子一定集中在左部连续位置。

　　　　（三）倒数二层，如果有叶子结点，一定＝集中在右部连续位置。

　　　　（四）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，不存在只有右孩子的结点。

　　　　（五）同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小。

4 二叉树的性质

　　（1）在二叉树的第i层上，至多有2^(i －1)个结点。

　　（2）深度为k的二叉树，至多有2^k －1个结点。

　　（3）对任何一棵二叉树，如果其终端结点(叶子结点)树为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2 + 1.

　　　　　　分析：度为2的结点数为n2，度为1的结点数为n1，度为0的结点数为n0，则二叉树的结点数共有n0+n1+n2.

　　　　　　　　　度为2的结点共有2*n2个子结点，度为1的结点共有n1个子结点，再加上根结点，二叉树的结点树共有2*n2 + n1 +1.

　　　　　　　　　故 n0+n1+n2 ＝ 2*n2 + n1 +1，即n0=n2 + 1.

　　（4）具有n个结点的完全二叉树的深度为［log2n］+ 1.(log以2为底n的对数，［x］表示不大于x的最大整数)

　　（5）对一棵有n个结点的完全二叉树，按结点顺序编号，对任一结点i（1<=i<=n）

　　　　　(一) 如果i＝1，则该结点为根结点。

　　　　 （二）如果结点i有左孩子，则左孩子的结点为2*i，如果有右孩子，则有孩子的结点为2*i+1.