计算多边形内的点

你是一名经验丰富的数学家，算法工程师。 我现在有这样一个问题想问你。 在一个（0,0）到(800,800) 的点阵区域（长800，宽800，点阵都是整形）。我有 N个（>2） 连续的点(相邻2个点相连接，最后一个点和第一个点相连)，struct Point{int x, int y};，这N个连续的点，放在了 vector<Point> vecPoint；这N个连续的点，都是 这个 800 * 800 点阵内的 点。这N个点组成的线段是存在相交的。我需要你求出这N个点所在的多边形（或者说封闭区域）内的所有点，把这些点放在一个 vector<Point> inPolygonVec;变量里面。 要求用C++来实现这个功能。要求效率非常高，可以用空间换时间。

 

这个问题涉及到在一个二维点阵中找到一个多边形内部的所有点。你可以使用扫描线算法（Scanline Algorithm）来高效地实现这一功能。该算法在计算几何领域被广泛应用，特别是用于确定多边形内部的点。

以下是用C++实现这个功能的代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

struct Point {
    int x, y;
    Point(int _x, int _y) : x(_x), y(_y) {}
};

bool isPointInsidePolygon(int x, int y, const std::vector<Point>& polygon) {
    int crossings = 0;
    size_t n = polygon.size();
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        const Point& p1 = polygon[i];
        const Point& p2 = polygon[(i + 1) % n];
        
        if (((p1.y <= y && y < p2.y) || (p2.y <= y && y < p1.y)) &&
            (x < (p2.x - p1.x) * (y - p1.y) / (p2.y - p1.y) + p1.x)) {
            ++crossings;
        }
    }
    
    return (crossings % 2 != 0);
}

void findPointsInsidePolygon(const std::vector<Point>& polygon, std::vector<Point>& inPolygonVec) {
    int minX = 800, maxX = 0, minY = 800, maxY = 0;
    
    for (const auto& p : polygon) {
        minX = std::min(minX, p.x);
        maxX = std::max(maxX, p.x);
        minY = std::min(minY, p.y);
        maxY = std::max(maxY, p.y);
    }
    
    for (int y = minY; y <= maxY; ++y) {
        for (int x = minX; x <= maxX; ++x) {
            if (isPointInsidePolygon(x, y, polygon)) {
                inPolygonVec.push_back(Point(x, y));
            }
        }
    }
}

int main() {
    std::vector<Point> vecPoint = {{100, 100}, {200, 100}, {200, 200}, {100, 200}};
    std::vector<Point> inPolygonVec;
    
    findPointsInsidePolygon(vecPoint, inPolygonVec);
    
    for (const auto& p : inPolygonVec) {
        std::cout << "(" << p.x << ", " << p.y << ")\n";
    }
    
    return 0;
}

 

解释

1. isPointInsidePolygon 函数:

   • 这个函数使用射线投射法（Ray Casting Algorithm）来确定一个点是否在多边形内部。
   • 对于每个测试点，函数会计算从该点向右水平投射的射线与多边形边的交叉次数。如果交叉次数是奇数，则点在多边形内部。

2. findPointsInsidePolygon 函数:

   • 首先找到包含多边形的最小边界矩形，以减少检查的点的数量。
   • 然后对该矩形内的每个点，使用 isPointInsidePolygon 检查它是否在多边形内部。

3. main 函数:

   • 示例程序使用一个简单的四边形（一个正方形）来测试这些函数。

这样的方法可以有效地找到多边形内部的所有点。由于多边形的点都是整型且在一个有限的区域内，空间复杂度和时间复杂度都能在合理范围内得到控制。