【动态规划专题】4：机器人到达指定位置的方法数
《程序员代码面试指南--IT名企算法与数据结构题目最优解》 左程云 著
机器人到达指定位置方法数
【题目】
假设有排成一行的N个位置，记为1~N，N一定大于或等于2。开始时机器人在其中的M位置上（M一定是1~N中的一个），
机器人可以往左走或者往右走，如果机器人来到1位置，那么下一步只能往右来到2位置；
如果机器人来到N位置，那么下一步只能往左来到N-1位置。
规定，机器人必须走K步，最终能来到P位置（P也一定是1~N中的一个）的方法有多少种。
给定4个参数N、M、K、P，返回方法数。
【要求】
时间复杂度为O(N*K)
#include <algorithm> #include <iostream> #include <stack> #include <vector> #include <exception> using namespace std;
方法1：暴力递归求解（暴力递归建模比较困难（至少对于我来说是如此））
//////////////////////////////////////////暴力递归求解 //N:位置为1~N，固定参数 //cur:当前在cur位置，可变参数 //rest:还剩res步没有走，可变参数 //P:最终目标位置P，固定参数 //只能在1~N这些位置上移动，当前在cur位置，走完rest步之后，停在P位置的方法数作为返回值返回 // int walk(int N, int cur, int rest, int P) { //如果没有剩余步数了，当前的cur位置就是最后的位置 //如果最后的位置停在P上，那么之前做的移动是有效的 //如果最后的位置没有停在P上，那么之前做的移动是无效的 if (rest == 0) { return cur == P ? 1 : 0; } //如果还有rest步要走，而当前的cur位置在1位置上，那么当前这步只能从1走向2 //后续的过程就是原来到2位置上，还剩rest-1步要走 if (cur == 1) { return walk(N, 2, rest - 1, P); } //如果还有rest步要走，而当前的cur位置在N位置上，那么当前这步只能从N走向N-1 //后续的过程就是来到N-1位置上，还剩rest-1步要走 if (cur == N) { return walk(N, N - 1, rest - 1, P); } //如果还有rest步要走，而当前的cur位置在中间位置上，那么可以向左走，也可以向右走 // return walk(N, cur - 1, rest - 1, P) + walk(N, cur + 1, rest - 1, P); } int ways1(int N, int M, int K, int P) { //参数无效直接返回 if (N < 2 || K < 1 || M<1 || M>N || P<1 || P>N) { return 0; } //总共N个位置，从M点出发，还剩K步，返回最终能达到P的方法数 return walk(N, M, K, P); }
方法2：通过暴力递归，分析模型，然后用循环的方法求解
/////////////////////////////////////递归思路分析，循环方法解决 int ways2(int N, int M, int K, int P) { //参数无效直接返回0 if (N < 2 || K < 1 || M<1 || M>N || P<1 || P>N) { return 0; } int iResult = 0; int** dp = new int*[K + 1]; for (int i = 0; i < K + 1; i++) { dp[i] = new int[N + 1]; } //给第1行赋值，如果走0步，只有在p点才是有效的，其他位置无效，为0 for (int i = 0; i < N + 1; i++) { if (i != P) { dp[0][i] = 0; } else { dp[0][i] = 1; } } for (int j = 0; j < K + 1; j++) { dp[j][0] = 0; } for (int i = 1; i < K + 1; i++) { for (int j = 1; j < N + 1; j++) { if (j == 1) { dp[i][j] = dp[i-1][2]; } else if (j == N) { dp[i][j] = dp[i - 1][N - 1]; } else { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j + 1]; } } } /////打印这个辅助数组 printf("dp[][]------------way2----------------start\r\n"); for (int i = 0; i < K + 1; i++) { for (int j = 0; j < N + 1; j++) { printf("%5d,", dp[i][j]); } printf("\r\n"); } printf("dp[][]-------------way2---------------end\r\n"); iResult = dp[K][M]; for (int i = 0; i < K + 1; i++) { delete[] dp[i]; } delete[] dp; return iResult; }
方法3：在方法2的基础上，对申请的内存空间做优化。只申请一个一维的数组空间。
///压缩到一维数组 int ways3(int N, int M, int K, int P) { //参数无效直接返回0 if (N < 2 || K < 1 || M<1 || M>N || P<1 || P>N) { return 0; } int iResult = 0; int* dp = new int[N + 1]; //给第1行赋值，如果走0步，只有在p点才是有效的，其他位置无效，为0 for (int i = 0; i < N + 1; i++) { if (i != P) { dp[i] = 0; } else { dp[i] = 1; } } for (int i = 1; i < K + 1; i++) { int LeftUp = dp[1]; for (int j = 1; j < N + 1; j++) { int tempLeft = dp[j]; if (j == 1) { dp[j] = dp[j+1]; } else if (j == N) { dp[j] = LeftUp; } else { dp[j] = LeftUp + dp[j + 1]; } LeftUp = tempLeft; ///保存旧的的左值 } } iResult = dp[M]; delete[] dp; return iResult; }
测试用例很重要。要用若干个测试用例去覆盖可能的各种情况。增强程序健壮性。
//==================测试用例==================== void test1() { //5,2,3,3, //7,4,9,5 int N = 0; int M = 0; int K = 0; int P = 0; cout << "Test1---------------------------------" << endl; N = 7; M = 4; K = 9; P = 5; //cout << "way1:" << ways1(N, M, K, P) << endl;; cout << "way2:" << ways2(N, M, K, P) << endl;; cout << "way3:" << ways3(N, M, K, P) << endl << endl;;; } void test2() { //5,2,3,3, //7,4,9,5 int N = 0; int M = 0; int K = 0; int P = 0; cout << "Test2---------------------------------" << endl; N = 7; M = 2; K = 13; P = 5; //cout << "way1:" << ways1(N, M, K, P) << endl;; cout << "way2:" << ways2(N, M, K, P) << endl;; cout << "way3:" << ways3(N, M, K, P) << endl << endl;; } void test3() { int N = 0; int M = 0; int K = 0; int P = 0; cout << "Test3---------------------------------" << endl; N = 5; M = 2; K = 3; P = 3; //cout << "way1:" << ways1(N, M, K, P) << endl;; cout << "way2:" << ways2(N, M, K, P) << endl;; cout << "way3:" << ways3(N, M, K, P) << endl << endl;; } int main() { test1(); test2(); test3(); cout << endl; system("pause"); return 0; }
这里展示部分的运行结果：
Test3--------------------------------- dp[][]------------way2----------------start 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 3, 0, 3, 0, dp[][]-------------way2---------------end way2:3 way3:3
