【动态规划专题】3：换钱的最少货币数
《程序员代码面试指南--IT名企算法与数据结构题目最优解》 左程云 著
换钱的最少货币数
【题目】
给定数组arr, arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，
再给定一个整数aim，代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。
【举例】
arr=[5,2,3],aim=20
4张5元可以组成20元，其他找钱方案都要使用更多的货币，所以返回4.
arr=[5,2,3],aim=0
不用任何货币就可以组成0元，返回0
arr=[3,5],aim=2
根本没法组成2元，钱不能找开的情况下默认返回-1.
/// 方法1：暴力递归求解
#include <algorithm> #include <iostream> #include <stack> #include <vector> #include <exception> using namespace std; #define INT_MAX 1000 int GetMinNum(int A, int B) { return A > B ? B : A; } int process(int *arr,int length, int i, int rest);
////采用递归的方式实现，时间复杂度很高，不推荐，但是需要理解这里的递归思路 int minCoins1(int* arr, int length, int aim) { if (arr == nullptr || length <= 0 || aim <= 0) { return -1; } return process(arr, length, 0, aim); } //当前考虑的面值是arr[i],还剩rest的钱需要找零 //如果返回-1，说明自由使用 arr[i...N-1]面值的情况下，无论如何也无法找零rest //如果返回不是-1，代表自由使用arr[i...N-1]面值的情况下，找零rest需要的最少张数 int process(int *arr, int length, int i, int rest) { //base case //已经没有面值能够考虑了 //如果此时剩余的钱为0，返回0张 //如果此时剩余的钱不是0，返回-1 if (i >= length) { if (rest == 0) { cout << "====================="<<endl; } return rest == 0 ? 0 : -1; } //最少张数，初始时为-1，因为还没找到有效解 int res = -1; //依次尝试使用当前面值(arr[i])0张、1张、k张，但不能超过rest for (int k = 0; k*arr[i] <= rest; k++) { //使用了k张aim[i]，剩下的钱为 rest - k*arr[i] //交给剩下的面值去搞定 (arr[i+1...N-1]) int next = process(arr, length, i + 1, rest - k*arr[i]); //说明这个后续过程有效 if (next != -1) { res = res == -1 ? next + k : GetMinNum(res, next + k); } } cout << "res" << res << endl; return res; }
将递归的思路转为循环。目前不太理解。。 递归转循环！！！
方法2：借用辅助二维数组 dp[N+1][aim+1]，通过循环，由下至上，逐层求解。
void printDPArray(int* dp, int cols) { for (int j = 0; j < cols; j++) { printf("%d,", (int)(*(dp + j))); } cout << endl; } int minCoin2(int* arr, int length, int aim) { if (arr == nullptr || length <= 0 || aim < 0) { return -1; } int N = length; int** dp = new int*[N + 1]; for (int i = 0; i < N+1; i++) { dp[i] = new int[aim + 1]; } for (int i = 0; i < N + 1; i++) { for (int j = 0; j < aim + 1; j++) { dp[i][j] = 0; } } //设置最后一排的值,除dp[N][0]为0外，其他都是-1 dp[N][0] = 0; for (int col = 1; col <= aim; col++) { dp[N][col] = -1; } //从底下往上计算每一行 for (int i = N - 1; i >= 0; i--) { //每一行都从左到右 for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) { dp[i][rest] = -1;//初始时先设置dp[i][rest]的值无效 //下面的值如果有效 if (dp[i + 1][rest] != -1) { dp[i][rest] = dp[i + 1][rest];//先设置为下面的值 } //如果左边的位置不越界且有效 if (rest - arr[i] >= 0 && dp[i][rest - arr[i]] != -1) { //如果之前下面的值无效 if (dp[i][rest] == -1) { dp[i][rest] = dp[i][rest - arr[i]] + 1; } else { //说明下面和左边的值都有效，去最小的 dp[i][rest] = GetMinNum(dp[i][rest], dp[i][rest - arr[i]] + 1); } } } } ////二维数组打印，有点不熟悉。。。 for (int i = 0; i < N + 1; i++) { printDPArray(*(dp+i),aim + 1); } cout << endl; cout << endl; cout << "printDPArray====================start" << endl; for (int i = 0; i < N + 1; i++) { printf("Row:%d. ", i); for (int j = 0; j < aim + 1; j++) { printf("%d,", dp[i][j]); } cout << endl; } cout << "printDPArray====================end" << endl; /* printDPArray == == == == == == == == == == start Row : 0. 0, -1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4, Row : 1. 0, -1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, Row : 2. 0, -1, 1, -1, 2, -1, 3, -1, 4, -1, 5, -1, 6, -1, 7, -1, 8, -1, 9, -1, 10, Row : 3. 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, printDPArray == == == == == == == == == == end */ return dp[0][aim]; }
然后逐一扫描钱币，计算每种币种，组成 arr[i] ~ aim 的最少货币数
后面的最优解依靠前面的最优解，所以需要从左往右扫描。
第1行就是 arr[0] 面额的的钱币，依次组成1~aim，需要的张数
方法3：借用一个一维的数组，数组长度是 aim+1。这个比较好理解一些。
void PrintDPArr2(vector<int>& dp) { for (vector<int>::iterator it1 = dp.begin(); it1 != dp.end(); ++it1) { cout << *it1<<","; } cout << endl; } void MiniCoin3(int* arr, int length, int aim) { cout << "MiniCoin3======================" << endl; vector<int> dp(aim + 1, INT_MAX); dp[0] = 0; for (int i = 0; i < length; ++i) { for (int j = arr[i]; j <= aim; ++j) { if (dp[j - arr[i]] != INT_MAX) { dp[j] = min(dp[j], dp[j - arr[i]] + 1); } } PrintDPArr2(dp);////这里只是打印每行的临时结果，方便后期理解 } if (dp[aim] == INT_MAX) cout << "-1" << endl; else cout << "dp[aim] "<<dp[aim] << endl; /* aim=6,arr=[2,1,3] 0,1000,1,1000,2,1000,3, 0,1,1,2,2,3,3, 0,1,1,1,2,2,2, dp[aim] 2 */ }
//====================测试用例================= void test1() { int arrCoin1[3] = {2,1,3}; int arrCoin2[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 60, 62, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117 }; //int arrCoin2[] = { 1,3,5,6 }; //cout << "Test1================" << endl; //cout << "expected:4. " << minCoin2(arrCoin1, sizeof(arrCoin1) / sizeof(int), 6) << endl;; MiniCoin3(arrCoin1, sizeof(arrCoin1) / sizeof(int), 6); //MiniCoin3(arrCoin2, sizeof(arrCoin2) / sizeof(int), 122); //cout << "expected:2. " << minCoins1(arrCoin2, sizeof(arrCoin2) / sizeof(int), 122) << endl;; } int main() { test1(); cout << endl; system("pause"); return 0; }
