【数据结构与算法之美】18-散列表（上）
Word 有拼写检查功能，如果输入错误的英文单词，就会用标红的方式提示“拼写错误”。你有没有想过，这个功能是如何实现的呢？这就涉及到本篇博客的内容——散列表（Hash Table）。
一、散列思想
散列表的英文叫“Hash Table”，也可以称之为“哈希表”或者“Hash 表”。
散列表利用了数组支持按照下标随机访问数据的特性，所以散列表其实就是数组的一种扩展，由数组演化而来。
我们通过示例来解释一下散列思想。假如有 89 名选手参加学校运动会，每个选手胸前都贴着自己的参赛号码，依次是 1 到 89。如何编程才能通过编号快速找到对应的选手信息呢？
我们可以创建长度为 90 的数组，根据下标，把这 89 名选手的信息放在数组里（下标为 0 的位置空着）。因为选手编号与数组下标一一对应，想查询参赛编号为 x 的选手成绩，只需要将下标为 x 的数组元素取出即可。时间复杂度为 O(1)。
上面的示例已经用到了散列思想。参赛编号是自然数，且与数组下标一一映射。利用数组支持根据下标随机访问，时间复杂度是 O(1) 这一特性，就可以实现快速查找编号对应的选手信息。
我们来改造一下以上示例，以便更好地表述散列思想。
校长认为，参赛编号过于简单，还要加上年级、班级信息。所以改用 6 位编号，前两位是年级，中间两位是班级，最后两位还是原来的编号 1 到 89。譬如 120467，表示选手来自 12 级 4 班，是 67 号选手。此时我们该如何通过编号来快速查找选手成绩呢？
由于编号很长，我们不可能将完整的编号作为下标。但我们可以截取参赛编号的后两位作为数组下标，来存储选手信息数据。当通过参赛编号查询选手信息的时候，我们用同样的方法，取参赛编号的后两位，作为数组下标，来读取数组中的数据。
以上处理方法就是典型的散列思想。其中，参赛选手的编号我们叫作键（key）或关键字，我们用它来标识一个选手。我们把参赛编号转化为数组下标的映射方法叫作散列函数（或“Hash 函数”“哈希函数”），而散列函数计算得到的值就叫作散列值（或“Hash 值”“哈希值”）。
通过示例可知以下三条规律：
- 散列表利用了数组支持按照下标随机访问，时间复杂度是 O(1) 的特性。
- 我们通过散列函数把元素的键值映射为下标，然后将数据存储在数组中对应下标的位置。
- 当我们按照键值查询元素时，我们用同样的散列函数，将键值转化数组下标，从对应的数组下标的位置取数据。
二、散列函数
我们可以将散列函数定义成 hash(key)，其中 key 表示元素的键值，hash(key) 的值表示经过散列函数计算得到的散列值（即数组下标）。
在上一节的第一个示例中，编号就是数组下标，所以 hash(key) 就等于 key。而上一节中改造后的示例，其散列函数就稍微有点复杂。我们用伪代码来表述：
1 int hash(String key) { 2 3 // 获取后两位字符 4 string lastTwoChars = key.substr(length-2, length); 5 6 // 将后两位字符转换为整数 7 int hashValue = convert lastTwoChas to int-type; 8 9 return hashValue; 10 }
示例中的散列函数比较简单。如果情况更复杂呢？譬如参赛选手的编号是随机生成的 6 位数字，又或者用的是 a 到 z 之间的字符串，该如何构造散列函数呢？
设计散列函数，要遵循以下三项基本要求：
- 散列函数计算得到的散列值是一个非负整数；
- 如果 key1 == key2，那 hash(key1) == hash(key2)；
- 如果 key1 ≠ key2，那 hash(key1) ≠ hash(key2)。
接下来，我们分析一下这三点。
第一点不难理解，数组下标是从 0 开始的，所以散列函数生成的散列值是非负整数。
第二点也很好理解。相同的 key，经过散列函数得到的散列值也应该是相同的。
第三点理解起来可能会有问题，要重点关注。这个要求看起来合情合理，但在真实情况下，想找到一个每个不同的 key 对应的散列值都不一样的散列函数，几乎是不可能的。即便像业界著名的 MD5、SHA、CRC 等哈希算法，也无法完全避免这种散列冲突。此外，因为数组的存储空间有限，也会加大散列冲突的概率。
综上，我们几乎无法找到一个完美的无冲突的散列函数。所以针对散列冲突问题，我们需要通过其他途径来解决。
三、散列冲突
前文提到，再好的散列函数也无法避免散列冲突。那么究竟该如何解决散列冲突问题呢？
我们常用的散列冲突解决方法有两类：开放寻址法（open addressing）和链表法（chaining）。
1. 开放寻址法
开放寻址法的核心思想是，如果出现了散列冲突，我们就重新探测一个空闲位置，将其插入。如何重新探测新的位置呢？我们先看看最简单的探测方法——线性探测（Linear Probing）。
线性探测
当我们向散列表中插入数据时，如果某个数据经过散列函数计算出的存储位置已经被占用了，我们就从当前位置开始，依次往后查找，看是否有空闲位置，直到找到为止。
为了更直观地理解，我们用下图来表述这个过程。其中黄色色块表示空闲位置，橙色色块表示该位置已经存储了数据。
从图中可以看出，散列表的大小为 10，在元素 x 插入散列表之前，已经 6 个元素插入到散列表中。x 经过 Hash 算法之后，被散列到位置下标为 7 的位置，但是这个位置已经有数据了，所以就产生了冲突。于是我们就顺序地往后一个一个找，看有没有空闲的位置，遍历到尾部都没有找到空闲的位置，于是我们再从表头开始找，直到找到空闲位置 2，于是将其插入到这个位置。
在散列表中查找元素的过程有点儿类似插入过程。我们通过散列函数求出要查找元素的键值对应的散列值，然后比较数组中下标为散列值的元素和要查找的元素。如果相等，则说明就是我们要找的元素；否则就顺序往后依次查找。如果遍历到数组中的空闲位置，还没有找到，就说明要查找的元素并没有在散列表中。
散列表跟数组一样，不仅支持插入、查找操作，还支持删除操作。对于使用线性探测法解决冲突的散列表，删除操作稍微有些特别。我们不能单纯地把要删除的元素设置为空。这是为什么呢？
还记得我们刚讲的查找操作吗？在查找的时候，一旦我们通过线性探测方法，找到一个空闲位置，我们就可以认定散列表中不存在这个数据。但是，如果这个空闲位置是我们后来删除的，就会导致原来的查找算法失效。本来存在的数据，会被认定为不存在。这个问题如何解决呢？
我们可以将删除的元素，特殊标记为 deleted。当线性探测查找的时候，遇到标记为 deleted 的空间，并不是停下来，而是继续往下探测。
你可能已经发现了，线性探测法其实存在很大问题。当散列表中插入的数据越来越多时，散列冲突发生的可能性就会越来越大，空闲位置会越来越少，线性探测的时间就会越来越久。极端情况下，我们可能需要探测整个散列表，所以最坏情况下的时间复杂度为 O(n)。同理，在删除和查找时，也有可能会线性探测整张散列表，才能找到要查找或者删除的数据。
对于开放寻址冲突解决方法，除了线性探测方法之外，还有另外两种比较经典的探测方法，二次探测（Quadratic probing）和双重散列（Double hashing）。
所谓二次探测，跟线性探测很像，线性探测每次探测的步长是 1，那它探测的下标序列就是 hash(key)+0，hash(key)+1，hash(key)+2……而二次探测探测的步长就变成了原来的“二次方”，也就是说，它探测的下标序列就是 hash(key)+0，hash(key)+12，hash(key)+22……
所谓双重散列，意思就是不仅要使用一个散列函数。我们使用一组散列函数 hash1(key)，hash2(key)，hash3(key)……我们先用第一个散列函数，如果计算得到的存储位置已经被占用，再用第二个散列函数，依次类推，直到找到空闲的存储位置。
不管采用哪种探测方法，当散列表中空闲位置不多的时候，散列冲突的概率就会大大提高。为了尽可能保证散列表的操作效率，一般情况下，我们会尽可能保证散列表中有一定比例的空闲槽位。我们用装载因子（load factor）来表示空位的多少。装载因子的计算公式是：
1 散列表的装载因子 = 填入表中的元素个数 / 散列表的长度
装载因子越大，说明空闲位置越少，冲突越多，散列表的性能会下降。
2. 链表法
链表法是一种更加常用的散列冲突解决办法，相比开放寻址法，它要简单很多。我们来看这个图，在散列表中，每个“桶（bucket）”或者“槽（slot）”会对应一条链表，所有散列值相同的元素我们都放到相同槽位对应的链表中。
当插入的时候，我们只需要通过散列函数计算出对应的散列槽位，将其插入到对应链表中即可，所以插入的时间复杂度是 O(1)。当查找、删除一个元素时，我们同样通过散列函数计算出对应的槽，然后遍历链表查找或者删除。那查找或删除操作的时间复杂度是多少呢？
实际上，这两个操作的时间复杂度跟链表的长度 k 成正比，也就是 O(k)。对于散列比较均匀的散列函数来说，理论上讲，k=n/m，其中 n 表示散列中数据的个数，m 表示散列表中“槽”的个数。
四、解答开篇
有了前面这些基本知识储备，我们来看一下开篇的思考题：Word 文档中单词拼写检查功能是如何实现的？
常用的英文单词有 20 万个左右，假设单词的平均长度是 10 个字母，平均一个单词占用 10 个字节的内存空间，那 20 万英文单词大约占 2MB 的存储空间，就算放大 10 倍也就是 20MB。对于现在的计算机来说，这个大小完全可以放在内存里面。所以我们可以用散列表来存储整个英文单词词典。
当用户输入某个英文单词时，我们拿用户输入的单词去散列表中查找。如果查到，则说明拼写正确；如果没有查到，则说明拼写可能有误，给予提示。借助散列表这种数据结构，我们就可以轻松实现快速判断是否存在拼写错误。
五、内容小结
今天我讲了一些比较基础、比较偏理论的散列表知识，包括散列表的由来、散列函数、散列冲突的解决方法。
散列表来源于数组，它借助散列函数对数组这种数据结构进行扩展，利用的是数组支持按照下标随机访问元素的特性。散列表两个核心问题是散列函数设计和散列冲突解决。散列冲突有两种常用的解决方法，开放寻址法和链表法。散列函数设计的好坏决定了散列冲突的概率，也就决定散列表的性能。
针对散列函数和散列冲突，今天我只讲了一些基础的概念、方法，下一节我会更贴近实战、更加深入探讨这两个问题。
六、课后思考
1. 假设我们有 10 万条 URL 访问日志，如何按照访问次数给 URL 排序？
2. 有两个字符串数组，每个数组大约有 10 万条字符串，如何快速找出两个数组中相同的字符串？
