整数拆分 —— 牛客网
题目描述
一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。
输入描述
每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。
输出描述
对于每组数据，输出f(n)%1000000000。
示例
输入
7
输出
6
思路
假设结果为f(n)，有递推公式f(2m+1)=f(2m)，f(2m)=f(2m-1)+f(m)
证明如下：
证明的要点是考虑划分中是否有1。
记:
A(n) = n的所有划分组成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。
又记:
f(n) = A(n)中元素的个数，
g(n) = B(n)中元素的个数，
h(n) = C(n)中元素的个数，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。
以上记号的具体例子见文末。
我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。
接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。
把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
综上，h(2m) = f(m)。
所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/376537f4609a49d296901db5139639ec
来源：牛客网
实现
实现一： 递归
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int recursion(int n)
{
if(n <= 1) return 1;
if(n%2 == 0) return recursion(n-1)+recursion(n/2);
return recursion(n-1);
}
int main()
{
int n;
while(cin >> n)
{
cout << recursion(n);
}
return 0;
}
递归实现会超时。
实现二：动态规划（数组）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n;
while(cin >> n)
{
int dp[n+1];
dp[0] = dp[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;i++)
{
if(i%2 == 0) dp[i] = (dp[i-1]+dp[i/2])%1000000000;
else dp[i] = dp[i-1]%1000000000;
}
cout << dp[n] << endl;
}
return 0;
}
