CF1748B Diverse Substrings 题解

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简要题意

给定一个长度为 $n$ 的只由数字 $0$ 到 $9$ 组成的字符串 $s$ ，求 $s$ 中有多少个子串满足 所有数字出现次数的最大值小于等于出现的不同数字的数量 ，其中 $n\le {10}^5$ 。

分析

题目拿到手，先想暴力解法。我们可以直接枚举 $s$ 的所有子串，并统计子串中数字 $i$ 出现的次数（记为 $cn{t}_i$ ），以及子串中出现的数字个数（记为 $sum$ ）。再记 $maxn=max(cn{t}_i)$ ，比较 $maxn\le sum$ 并记录答案即可。

for(int i=1;i<=n;i++){
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	maxn=0;
	sum=0;
	for(int j=i;j<=n;j++){
		int pos=a[j];
		if(!cnt[pos]) sum++;
		cnt[pos]++;
		maxn=max(maxn,cnt[pos])
		if(sum>=maxn) ans++;
	}
}

显然，这种 $O(n^2)$ 的时间复杂度是过不去 $n\le {10}^5$ 的。所以我们考虑优化。

优化

显然，所有的数字个数不会超过 $10$ ，所以 $sum\le 10$ ，而 $maxn\le {10}^5$ ，所以可以得知符合条件的子串的长度一定不会大于 $100$ （每个数字各出现 $10$ 次）。所以，我们可以将

for(ll j=i;j<=n;j++)

改成

for(ll j=0;j+i<=n&&j<=100;j++)

这样就可以将我们的时间复杂度优化到 $O(n\times 100)$ ，轻松 AC 。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ma 214514
using namespace std;
ll read(){
	char ch=getchar();
	ll x=0,f=1;
	while('0'>ch||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while('0'<=ch&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
ll t;
ll n;
ll cnt[10];
ll maxn;
ll a[ma];
ll ans=0;
ll sum=0;
char x;
int main(){
	t=read();
	while(t--){
		n=read();
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		ans=0,sum=0;
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			x=getchar();
			a[i]=x-'0';//读入时转化成字符读入，防止读入一长串数字
		}
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			memset(cnt,0,sizeof(cnt));
			maxn=0;
			sum=0;
			for(ll j=0;j+i<=n&&j<=100;j++){
				ll pos=a[j+i];
				if(!cnt[pos]) sum++;
				cnt[pos]++;
				maxn=max(maxn,cnt[pos]);
				if(sum>=maxn) ans++;
			}
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}