图的数据结构和基础算法c++

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一、表示方法、基本结构

大致有2种表示图的方法：

1、给定一个矩阵，上面一些符号，这个图就是这个样子。例如：

    

2、给出路径。例如：

      ●1 2、2 3、4 3、3 5（1到2有路径）

      ●01000

        00100

        00001

        00100

        00000（意义同上）

二、基本算法（dfs、bfs）

解决图的问题时，关键在于当前步如何处理且走过的结点或路径要标记。

 

图最基本的算法是dfs和bfs，dfs用递归实现，bfs用队列实现，dfs易于编写。

 

dfs既然是递归，也就有子问题和边界条件，在图中体现出来就是，当前步如何走（子问题）、什么时候不能再走了（边界问题）。（子问题想出来递归就好写了）

 

bfs把要访问结点放到队列中，队列尾进头出，每次访问头结点，并把头节点相连的结点加入队列末端，再把头节点从队列头拿出舍弃。这样就能实现宽度顺序的访问。

三、基本问题

1、连通块 

     uva572 连通块dfs    http://www.cnblogs.com/mu-ye/p/7644021.html

2、最短路

     记录路径的长度，在能到达目的地的路径中选最短的。若要打印路径，则搜路径时同时记录路径。路径问题可根据具体问题记录相关信息，最后比较。

 （个人感觉，解决连通块时，没有浪费的搜索（因为标记），而解决最短路时，搜了一些没用的路（标记不能解决））

四、图论基础算法

1、拓扑排序（有向无环图）

       和普通排序不同的是，拓扑排序不知道元素的具体大小，只有元素间的部分关系，最后的结果是把这些元素串起来。（拓扑排序是图论中的一个问题：把一个图的所有结点排序，使得每一条有向边（u，v）对应的u都排在v的前面）

       首先，我们知道，拓扑排序最终要确定一个序列，那么向这个序列放一个元素时，要确保所有指向这个元素的所有元素都放进去了。

       最直接的想法是，把每个元素前面的结点列出，没有前面结点的放入序列，把放入序列的结点从其他结点记录中删除，再把没有前面结点的放到序列中，一直到所有结点都放入序列中。（如果这个办法最终不能把所有结点都放到序列中，说明不能形成序列，对应图是有环图）

       另一种想法就是用dfs搜图，没有上面的好想，但是比上面的方法高效：从每个u结点（（u，v）中的u）开始深搜，（发现不好讲，举个例子）：

       比如说，从a点开始深搜，访问的序列是1，然后是2，2返回到2条路径的相交处才会访问3路径，在返回（也就是递归的回溯）时，把2路径上的结点从尾到头放到结果序列的头部，以此类推，会把4、5、3、1上的结点放到结果序列中，这样从a结点开始的深搜就结束了；然后深搜6、7上的结点时，6、7也会被访问到，回溯时把结点放到结果序列中。

       另外，判断有没有环就是把正在深搜中的结点设为-1，如果路径走到-1的结点了，说明有环。放到结果序列中的结点是1，不可能有路径再指向结点都为1的路径。没有访问过的结点是0。

2、欧拉回路

     欧拉道路：从无向图的一个结点出发，走出一条道路，每条边恰好经过一次。“一笔画”问题。

     目的是从起点走到终点，所以经过的点，进去必须能出来，出不来就到不了终点。所以除了起点和终点，其他点不能是奇点。所以：

     有2个及以下奇点的图，有欧拉道路（无向图）。奇点必须是起点或终点。

     所以：

     （无向图）输出一笔画路径的问题，先判断奇点个数，没有的话从哪个点开始搜都可以，一个的话从该点开始，2个的话从一个点开始，到一个点结束。搜图时标记走过的路（注意是路不是点）。