线性代数------行列式的性质

这一篇我们来介绍下行列式的性质:

首先，我们了解一下行列式的转置行列式。

事实上，它的定义在上一篇就已经介绍过了，不过没有点明:

　　交换一个行列式的行标和列标所构成的行列式就是该行列式的 转置行列式

然后关于转置行列式有：

　　任一行列式与其转置行列式相等。

这一点，也就是我们在上一章中关于行列式的两种计算方式，已经证明。

另外，交换行列式的两行(列)会改变该行列式的符号，这一性质在后面的章节中会经常用到。

交换两行(列)操作用符号表示为:

　　ci <-> cj 或 ri <-> rj

行列式中有两项相同的话，那么行列式为0，因为互换两行会得到D = -D。

另一个常用的性质是：

　　将行列式的某行(列)同乘一个数值等同于将行列式乘上该数，记作 ri * k（或 ci * k）。

　　同样，除法作为乘法的逆操作，也同样适用于该性质，记作 ri / k（或 ci / k）。

 

由上述两个性质，又能推出：

　　若有两行（列）成比例，那么，行列式也为0。

 

还有一个用于拆分行列式的性质：

　　若将行列式中任一行或列拆成两数之和，如：

　　

    | a11 ...... a1k+a1k` ...... an1 |
    | a21 ...... a2k+a2k` ...... an2 | 
D = | a31 ...... a3k+a3k` ...... an3 | 
    |             ......             |
    | an1 ...... ank+ank` ...... ann |        

　　那么它们能够杯拆成如下两个行列式：

    | a11 ...... a1k ...... a1n |   | a11 ...... a1k` ...... a1n | 　　
    | a21 ...... a2k ...... a2n |   | a21 ...... a2k` ...... a2n |
D = | a31 ...... a3k ...... a3n | + | a31 ...... a3k` ...... a3n |
    |          ......           |   |           ......           |
    | an1 ...... ank ...... ann |   | an1 ...... a4k` ...... ann |

由这个性质我们可以推出：

　　将任意一行（或列）乘上某个数值加到一行（或列）上，行列式不变。

证明是 拆分为2个行列式后，前者构成的矩阵为0。

这一性质可以用于将行列式划为形如下图的上三角行列式：

　　

| a11 a12 a13 a14 a15 |
| 0   a22 a23 a24 a25 |
| 0   0   a33 a34 a35 |
| 0   0   0   a44 a45 |
| 0   0   0   0   a55 |

上三角行列式的特别性质就是其值等于其主对角线各元素的乘积。