CodeForces 390E Inna and Large Sweet Matrix(树状数组改段求段）

树状数组仅仅能实现线段树区间改动和区间查询的功能，能够取代不须要lazy tag的线段树。且代码量和常数较小

首先定义一个数组 int c[N]; 并清空 memset(c, 0, sizeof c);

1、单点改动 ： c[x] += y; 相应的函数是 change(x, y);

2、求前缀和 ：  相应的函数是 int sum(x)

两种操作的复杂度都是O(logn)

模板例如以下：

int c[N], maxn;  
inline int Lowbit(int x){return x&(-x);}  
void change(int i, int x)//i点增量为x  
{  
    while(i <= maxn)  
    {  
        c[i] += x;  
        i += Lowbit(i);  
    }  
}  
int sum(int x){//区间求和 [1,x]  
    int ans = 0;  
    for(int i = x; i >= 1; i -= Lowbit(i))  
        ans += c[i];  
    return ans;  
}  

怎样运用树状数组进行区间操作

先定义两个树状数组 X, Y

如今我们须要对一个数组 int a[N]; 进行区间操作：[L, R] += val 即 for i:L to R a[i] += val; 

再定义一个 int size = R-L+1 , 即区间长度

相应的改动是 

1、X[L] += val;   X[R+1] -= val;

2、Y[L] += -1 * val * (L-1);   Y[R+1] += val * R;

相应的查询是

当我们求和  时在树状数组中操作是 ans = X.sum(k) * k + Y.sum(k)

分类讨论一下k分别在 [1,L-1] , [L, R] , [R+1, +]

1、k[1,L-1]  

显然 X.sum(k) == 0 且 Y.sum(k) == 0 -> ans = X.sum(k)*k + Y.sum(k) = 0*i+0 = 0 结果与实际相符。

2、k[L, R] 

X.sum(k) * k = X[L] * k = val * k,   Y.sum(k) = Y[L] =  -1 * val * (L-1) 

ans = val * k - val * (L-1) = val * ( k - (L-1) ); 

3、k[R+1, ]

X.sum(k) * k = ( x[L] + x[R] ) * k = 0 * k = 0;

Y.sum(k) = Y[L] + Y[R] = -val * (L-1) + val * R = val * (R-L+1) = val * size

X.sum(k) * k + Y.sum(k) = val * size

证明完成。

下面模版中两个树状数组c[0], c[1] 相应上述的X, Y

区间改动：add(L, R, val)

求 int a[N]的前缀和 get_pre(R)

区间查询：get(L,R)

const int N = 4e5 + 100;
template<class T>
struct Tree{
	T c[2][N];
	int maxn;
	void init(int x){
		maxn = x+10; memset(c, 0, sizeof c);
	}
	inline int lowbit(int x){ return x&-x; }
	T sum(T *b, int x){
		T ans = 0;
		if (x == 0)ans = b[0];
		while (x)ans += b[x], x -= lowbit(x);
		return ans;
	}
	void change(T *b, int x, T value){
		if (x == 0)b[x] += value, x++;
		while (x <= maxn)b[x] += value, x += lowbit(x);
	}
	T get_pre(int r){
		return sum(c[0], r) * r + sum(c[1], r);
	}
	void add(int l, int r, T value){//区间加权
		change(c[0], l, value);
		change(c[0], r + 1, -value);
		change(c[1], l, value * (-l + 1));
		change(c[1], r + 1, value * r);
	}
	T get(int l, int r){//区间求和
		return get_pre(r) - get_pre(l - 1);
	}
};
Tree<ll> tree;

好了，回归正题，我们来讲一下这道题的题意：

题意：给定n*m的二维平面 w个操作

int mp[n][m] = { 0 };

1、0 (x1,y1) (x2,y2) value

for i : x1 to x2

for j : y1 to y2 

mp[i][j] += value;

2、1 (x1, y1) (x2 y2)

ans1 = 纵坐标在 y1,y2间的总数

ans2 = 横坐标不在x1,x2间的总数

puts(ans1-ans2);

代码例如以下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 4e6+10;
int n, m, w;
template<class T>  
struct Tree
{  
    ll c[2][N];  
    int maxn;  
    void init(int x)
	{  
        maxn = x+10; memset(c, 0, sizeof c);  
    }  
    inline int lowbit(int x)
	{ 
		return x&-x; 
	}  
    ll sum(ll *b, int x)
	{  
        ll ans = 0;  
        if (x == 0)ans = b[0];  
        while (x)ans += b[x], x -= lowbit(x);  
        return ans;  
    }  
    void change(ll *b, int x, ll value)
	{  
        if (x == 0)b[x] += value, x++;  
        while (x <= maxn)b[x] += value, x += lowbit(x);  
    }  
    ll get_pre(int r)
	{  
        return sum(c[0], r) * r + sum(c[1], r);  
    }  
    void add(int l, int r, ll value)
	{  
        change(c[0], l, value);  
        change(c[0], r + 1, -value);  
        change(c[1], l, value * (-l + 1));  
        change(c[1], r + 1, value * r);  
    }  
    ll get(int l, int r)
	{  
        return get_pre(r) - get_pre(l - 1);  
    }  
};
  
Tree<ll> x, y;  

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &w);
	 x.init(n); y.init(m); 
	int tmp;
	ll all = 0;
	while(w--)
	{
		scanf("%d", &tmp);
		int x1, x2, y1, y2, v;
		if(tmp == 0)
		{
			scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &v);
			all += v * (x2-x1+1) * (y2-y1+1);
			x.add(x1, x2, v * (y2 - y1 + 1));
			y.add(y1, y2, v * (x2 - x1 + 1));
		}
		if(tmp == 1)
		{
			scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
			printf("%I64d\n", y.get(1, y2) - y.get(1, y1-1) - (all - x.get(1, x2) + x.get(1, x1 - 1)));	
		}
	}
	return 0;
}