求通项

由递推关系到通项公式

1. 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1…

简单地，1, -1, 1, -1, 1, -1…，其通项为，(−1)n+1

an=1+(−1)n+12

紧接着考虑如下的数列，a, b, a, b, a, ….，求其通项：

an=1+(−1)n+12a+1+(−1)n2b

2. 相邻两项的关系

比如二阶等差数列的：

an=(n−2)d+(a2−a1)+an−1

将 an−1,an−2,an−3,…, 依次展开，

⋮an=(n−2)d+(a2−a1)+an−1an−1=(n−3)d+(a2−a1)+an−2an−2=(n−4)d+(a2−a1)+an−3a2=(a2−a1)+a1

最终可得：

an=(n−1)(a2−a1)+(n−1)(n−2)2d+a1

3. 振动与旋转

• 问题 1：将以下数列的通项 an 用 n 来表示：

  n 与 an 的二元关系可以写作，(0,1),(1,0),(2,−1),(3,0),(4,1),(5,0),(6,−1),(7,0)....

  显然其周期为 4（1,0,-1,0，也可以看做在 y 轴上的一种上下振动，类似正弦函数），则如果分情况讨论的话：

  an=⎧⎩⎨⎪⎪1,0,−1,n=(0,4,8,…,4k,…)n=(1,3,5,7,9,…,2k+1,…)n=(2,6,10,…,4k+2,…)