二叉树与树的理解

• 二叉树性质及结论的证明，天然地依赖于递归，而涉及到递归时，一般采用的证明方法为：数学归纳法

1. 树形结构 vs 线性结构

树形结构是复杂数据结构中最为简单的一类结构；

• 树形结构不但本身很有用，还反映了许多计算过程的抽象结构；
• 树形结构的结点形成一种层次结构；

树和链表、队列、栈等结构一样，也是一些基本元素的汇集，单元素之间不是简单的线性关系（在一个包含 n 个元素的数据结构里），可能存在更为复杂的联系。这种情况下，在一个包含 n 个元素的数据结构里，元素之间的最远距离就不是 n，可能小得多。

树形结构也是由结点（结构中的逻辑单元，可用于保存数据）和结点之间的连接关系（一种后继关系）构成，但其结构与线性结构（表）不同，最重要的特征包括：

• 一个结构如果不空，其中就存在着唯一的一个起始节点，成为树根（root）

• 按结构的连接关系，树根外的其余结点都有且只有一个前驱（这点与线性结构一样），但另一方面，一个结点可以有 0 个或者多个后继（与线性结构不同）。另外，在非空的树结构中一定有些结点并不连接到其他结点。这种结点与表的尾节点性质类似，但在一个树结构里可以存在多个这种节点。

• 结构里的所有结点都在树根结点通过后继关系可达的结点集合里。换句话说说，从树根节点出发，经过若干次后继关系可以到达结构中的任一个结点；

• 结点之间的联系不会形成循环关系，这也就说明，结点之间的联系形成了一种序，但一般而言不像线性表那样形成一个全序；

• 从这种结构里的任意两个不同结点出发，通过后继关系可达的两个结点集合，或者互不相交，或者一个集合是另一个集合的子集；

2. 二叉树：概念及性质

• 一个结点的关联结点数可以为 0、1 和 2；
• 一个二叉树可以有五种形态，
  
  • 空二叉树
  • 单点树（只包含一个结点，也即根节点）
  • 根节点和左子树
  • 根节点和右子树
  • 根节点+左子树+右子树

当然也可以这样理解，根节点、左子树、右子树，三方面的内容，每个有两种状态，有或者无，共两种，因此 23=8，但要排除：

• 只有左子树；
• 只有右子树；
• 有左子树，右子树，但没有根；

8 - 3 = 5，

2.1 性质：非空二叉树第 i 层中至多有 2i 个结点（i≥0）

数学归纳法进行证明，i→2i ⇒ i+1→2i⋅2=2i+1

2.2 性质：高度为 h（从 0 开始算起）的二叉树至多有 2h+1−1 个结点

20+21+⋯+2h=2h+1−12−1

2.3 性质：非空二叉树 T，如果其叶节点的个数为 n0（度为 0），度数为 2 的结点个数为 n2，那么 n0=n2+1

可以根据二叉树的 5 种不同形态，通过数学归纳法进行证明，由于条件中说了非空，那么只需考虑后续的 4 种形态。设 T 是二叉树，L(T) 表示 T 中叶节点的个数，B(T) 表示 T 中度数为 2 的结点的个数。

显然对于单点二叉树，结论是成立的；

归纳 1：如果二叉树 T包含根节点 r 且只有左子树 T1，根据归纳假设，L(T1)=B(T1)+1，又整个二叉树

归纳 2：如果原二叉树 T 包含根节点 r 和非空左右子树 T1,T2，由归纳假设：

L(T1)=B(T1)+1L(T2)=B(T2)+1

又对整颗二叉树而言，L(T)=L(T1)+L(T2)，B(T)=B(T1)+B(T2)+1

所以：

L(T)=B(T)+1

3. 二叉树的遍历

每棵二叉树有唯一的根节点，可以将其看作这棵二叉树的唯一标识（根之于二叉树，好比主键之于一条记录），是基于树结构的处理过程的入口（状态空间的初始状态）。也即从根节点出发，能找到树中所有信息，其基础是从父节点找到两个子节点。

因此，实际中常用二叉树的根节点代表这棵二叉树，其左右子树由它们各自的根节点代表。

• 二叉树 ⟺ 根 ⇒ （左子树，右子树）

二叉树的每个结点可能保存一些数据，因此也是一种汇集型的数据结构。