无理数的认识

无理数也是无穷无尽的，它们比起有理数来得多得多。

1. 从 2√ 开始

我们从 2√ 开始，就可以构造无穷多个无理数：

• 1+2√，2+2√，3+3√，…，也都是无理数；
• 22√，32√，42√，…，也都是无理数；

• 12+2√，3−22√，35−742√，…，仍是无理数；

• 如果 r 和 s 是有理数，r≠0，且 a 是无理数，那么 ra+s 必是无理数：

  证明：用反证法。若 ra+s 是有理数，令 ra+s=q，则 q−s 是有理数，a=1r(q−s) 也是有理数，与条件相悖。

• 若 a 是无理数，k 是正整数，则 a√k 是无理数。

  证明，同理使用反证法，a√k=q 是有理数，则 a=qk

• a 是无理数，1a 也是无理数

  证明，使用反证法。1a=q，a=1q ;

• 两个无理数相加（差、积、商），可就不一定是无理数了，3+2√ 与 3−2√

• 若 a,b 是正的有理数，a√ ，b√ 是无理数，则 a√+b√ 也是无理数。如果 a√≠b√，a√−b√ 也是无理数。

  a√±b√=q ⇒ a√=b−a−q22q