实数的认识

1. 常见定义

• 规范小数：若一个有尽小数 a0.a1a2…ap 在第 k 位之后不全为 0 或 9，则称其为规范小数。
  
  • a0.a1a2…ap00000…=a0.a1a2…ap−199999…,
• 最大数与最小数： S⊂R
  
  • 当 S 为非空有限集时，则 S 必有最大数与最小数；
  • 当 S 是无限集时，S 不一定有最大数和最小数；

2. 实数连续统（continuum）：实数布满一维数轴

正整数或自然数 0,1,2,3 …. 这些抽象的符号，是用来表示在离散元素的总体或集合中具有“多少个”对象的。

这些符号完全不涉及（不依赖于）所计数的对象的具体性质（而存在），不管它们是人，是原子，是房子，还是别的什么。为了达到如度量曲线的长度，物体的体积或重量等这些量，自然数便不再够用了。因此我们不得不将数的概念加以扩展，以便描述度量的连续变化。这种扩充了的（能够表述度量连续变化）数系称为数的连续统或实数系。

• 实数布满一维数轴（没有空隙）⇒ 实数的连续性；
• 实数与数轴上的点一一对应；

3. 实数轴

• 整数集 Z：离散性；
• 有理数集 Q：稠密性，在数轴上找不到任意小的一段区间，使得区间内没有有理数；
  
  • 稠密性：也即密密麻麻地布满了数轴；
  • 但因无理数的发现，使得在实数轴上密密麻麻分布的有理数中间有空隙（有理数虽然稠密，但并未完全布满数轴）；