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  • 动态规划三大重要概念:最优子结构边界状态转移公式(问题规模降低,如问题由 n 的规模降低为 n1n2 及二者之间的关系);

0. 爬台阶

F(n)F(n1)+F(n2)

  • F(n1),F(n2) 即是 F(n) 的最优子问题;
  • F(1)=1,F(2)=2 是问题的边界;
  • F(n)=F(n1)+F(n2) 则是问题的状态转移公式;

1. 数列快速求和和矩阵快速乘法

1+2++n==(1++n2)+((n2+1)++(n2+n2))2(1++n2)+n2n2

也即:f(n)=2f(n2)+n24 ⇒ 问题的规模以 n/2 的缩小,时间复杂度从 O(n) 变为 O(logn)

int fastSum(int n){
    if (n == 1) return 1;
    if (n % 2) return fastSum(n-1) + n;
    return 2*fastSum(n/2)+n/2*n/2;
}
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