线性方程组

• Ax=b 有解 ⇒ 稀疏矩阵的秩和增广矩阵的秩相等；

1. 解的情况

• 齐次线性方程组 Ax=0 有无穷多解，其中 Am×n

  • m < n

• Ax=0 有非零解的充要条件，|A|=0 （A 必须首先为方阵）

  • 充分性，|An×n|=0 ⇒ rank(A)<n，将其按列分块，

    (a1,a2,…,an)⋅(x1,x2,⋯,xn)′=x1a1+⋯+xnan=0，因为 A 的不同列之间可以相互表出，因此存在一组不全为 0 的数（比如 a1 可以被 (a2,⋯,an) 线性表出，则…），x1,⋯,xn 使等式成立；

• 必要性：

  • 如果 |A|≠0，也即 A 可逆，则等式两边同时乘以，A−1 ⇒ x = 0